Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una panadería fabrica cajas de mantecados y de perrunillas. Para su elaboración cuenta diariamente con 40 kg de harina y 50 kg de azúcar, necesitando 1 kg de harina y 2 kg de azúcar para cada caja de mantecados, con un beneficio de 10 €. Por otra parte, para fabricar una caja de perrunillas, que le aporta un beneficio de 15 €, utiliza 2 kg de harina y 1 kg de azúcar. Sabiendo que, por cuestiones de abastecimiento, el número de cajas de perrunillas debe ser, como mucho, el doble que el de cajas de mantecados, calcule el número de cajas de cada producto que debe fabricar diariamente para obtener unos beneficios máximos y el valor de esos beneficios. [3 puntos]

Llamamos $x$ al número de cajas de mantecados e $y$ al número de cajas de perrunillas que se fabrican cada día.

Ordenamos en una tabla la información del enunciado.

$$	$\text{Harina (kg)}$	$\text{Azúcar (kg)}$	$\text{Beneficio (euros)}$ Mantecados	$x$	$2x$	$10x$ Perrunillas	$2y$	$y$	$15y$ Totales	$x+2y$	$2x+y$	$10x+15y$

La función objetivo, que se quiere maximizar, es el beneficio diario:

$B(x,y)=10x+15y$

Las restricciones del problema son:

Se dispone de 40 kg de harina $\Rightarrow x+2y\leq 40$.

Se dispone de 50 kg de azúcar $\Rightarrow 2x+y\leq 50$.

Las cajas de perrunillas son como mucho el doble que las de mantecados $\Rightarrow y\leq 2x$.

El número de cajas no puede ser negativo $\Rightarrow x\geq 0$, $y\geq 0$.

$\begin{cases} x+2y\leq 40\\ 2x+y\leq 50\\ y\leq 2x\\ x\geq 0;\ y\geq 0 \end{cases}$

Las coordenadas de los vértices de la región factible se obtienen resolviendo los sistemas que forman las rectas que se cortan en cada uno.

Vértice $O$: corte de $y=2x$ con $y=0$, es decir $O(0,0)$.

Vértice $A$:

$\begin{cases}y=2x\\x+2y=40\end{cases} \Rightarrow x+4x=40 \Rightarrow x=8,\ y=16 \Rightarrow A(8,16)$

Vértice $B$:

$\begin{cases}x+2y=40\\2x+y=50\end{cases} \Rightarrow x=40-2y \Rightarrow 80-3y=50 \Rightarrow y=10,\ x=20 \Rightarrow B(20,10)$

Vértice $C$:

$\begin{cases}2x+y=50\\y=0\end{cases} \Rightarrow C(25,0)$

Valoramos la función beneficio en cada uno de los vértices.

$B(0,0)=0\ \text{euros}$

$B(8,16)=10\cdot 8+15\cdot 16=320\ \text{euros}$

$B(20,10)=10\cdot 20+15\cdot 10=350\ \text{euros}$

$B(25,0)=10\cdot 25+15\cdot 0=250\ \text{euros}$

El mayor de los cuatro valores se alcanza en el vértice $B(20,10)$.

La panadería debe fabricar cada día 20 cajas de mantecados y 10 cajas de perrunillas, con las que obtiene un beneficio máximo de 350 euros.