Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, se pide:

a) Halle, de forma razonada, la matriz $A^{99}$. [1,25 puntos]

b) Resuelva la ecuación matricial $A \cdot X + A^2 = A^3 - A \cdot X$. [1,75 puntos]

$\textbf{a) Halle, de forma razonada, la matriz } \boldsymbol{A^{99}}\textbf{. [1,25 puntos]}$

Calcular noventa y nueve productos no es viable, así que se buscan las primeras potencias de $A$ hasta encontrar una regularidad.

$A^2=A\cdot A= \begin{pmatrix}-1&1\\0&1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-1&1\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I$

Al ser $A^2=I$, las potencias se repiten de dos en dos: las pares valen $I$ y las impares valen $A$. Como $99=2\cdot 49+1$:

$A^{99}=\left(A^2\right)^{49}\cdot A=I^{49}\cdot A=A$

$A^{99}=\begin{pmatrix}-1&1\\0&1\end{pmatrix}$

$\textbf{b) Resuelva la ecuación matricial } \boldsymbol{A \cdot X + A^2 = A^3 - A \cdot X}\textbf{. [1,75 puntos]}$

Se agrupan en un miembro los dos términos que contienen la incógnita y en el otro las potencias de $A$.

$A\cdot X+A^2=A^3-A\cdot X \Rightarrow 2\,A\cdot X=A^3-A^2$

Por el apartado anterior $A^2=I$ y $A^3=A^2\cdot A=A$, con lo que el segundo miembro se simplifica.

$2\,A\cdot X=A-I= \begin{pmatrix}-1&1\\0&1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2&1\\0&0\end{pmatrix}$

La incógnita está multiplicada por la izquierda, así que se multiplica también por la izquierda por $A^{-1}$. De $A^2=I$ se sigue que $A^{-1}=A$, de modo que no hace falta invertir nada.

$X=\dfrac{1}{2}\,A^{-1}(A-I)=\dfrac{1}{2}\,A(A-I)=\dfrac{1}{2}\left(A^2-A\right)=\dfrac{1}{2}(I-A)$

$X=\dfrac{1}{2} \begin{pmatrix}2&-1\\0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&-\dfrac{1}{2}\\[1ex]0&0\end{pmatrix}$

Se comprueba el resultado: $A\cdot X=\begin{pmatrix}-1&\frac{1}{2}\\0&0\end{pmatrix}$, luego $2\,A\cdot X=\begin{pmatrix}-2&1\\0&0\end{pmatrix}=A-I$.

La matriz buscada es $X=\begin{pmatrix}1&-\frac{1}{2}\\0&0\end{pmatrix}$.