Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2025

Dada la recta $s \equiv \dfrac{x}{-4} = \dfrac{y-1}{3} = \dfrac{z+1}{0}$, el plano $\pi \equiv x - 2y + 3z - 6 = 0$ y el punto $P(1,-1,0)$

a) Obtenga la ecuación del plano perpendicular a la recta $s$ que pase por $P$. [0,75 puntos]

b) Calcule la distancia del punto $P$ a la recta $s$. [1 punto]

c) Calcule el ángulo que forma la recta $s$ con el plano $\pi$. [0,75 puntos]

De la ecuación continua de la recta leemos su punto de paso y su vector director. La tercera coordenada del director es cero, lo que significa que la recta es horizontal.

$Q(0,1,-1) \qquad \vec v_s=(-4,3,0) \qquad \vec n_{\pi}=(1,-2,3)$

$\textbf{a) Obtenga la ecuación del plano perpendicular a la recta } \boldsymbol{s}\textbf{ que pase por } \boldsymbol{P}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Un plano perpendicular a una recta tiene por vector normal el director de esa recta.

$-4(x-1)+3(y+1)+0(z-0)=0$

$-4x+4+3y+3=0 \Rightarrow -4x+3y+7=0 \Rightarrow 4x-3y-7=0$

El plano pedido es $4x-3y-7=0$, que contiene a $P(1,-1,0)$: $4+3-7=0$.

$\textbf{b) Calcule la distancia del punto } \boldsymbol{P}\textbf{ a la recta } \boldsymbol{s}\textbf{. [1 punto]}$

La distancia de un punto a una recta es el cociente entre el módulo del producto vectorial del vector que va del punto de paso al punto exterior por el director, y el módulo del director.

$\overrightarrow{QP}=P-Q=(1,-2,1)$

$\overrightarrow{QP}\times\vec v_s=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&-2&1\\-4&3&0\end{vmatrix}=(0-3)\vec i-(0+4)\vec j+(3-8)\vec k=(-3,-4,-5)$

$\left|\overrightarrow{QP}\times\vec v_s\right|=\sqrt{9+16+25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2} \qquad \left|\vec v_s\right|=\sqrt{16+9+0}=5$

$d(P,s)=\dfrac{5\sqrt{2}}{5}=\sqrt{2}\approx 1{,}41$

La distancia del punto $P$ a la recta $s$ es de $\sqrt{2}$ unidades.

$\textbf{c) Calcule el ángulo que forma la recta } \boldsymbol{s}\textbf{ con el plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{. [0,75 puntos]}$

El ángulo que forman una recta y un plano es el complementario del que forman el vector director y el vector normal, y por eso en la fórmula aparece el seno y no el coseno.

$\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{\left|\vec v_s\cdot\vec n_{\pi}\right|}{\left|\vec v_s\right|\cdot\left|\vec n_{\pi}\right|}$

$\vec v_s\cdot\vec n_{\pi}=-4-6+0=-10 \qquad \left|\vec n_{\pi}\right|=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}$

$\operatorname{sen}\alpha=\dfrac{10}{5\sqrt{14}}=\dfrac{2}{\sqrt{14}}=\dfrac{\sqrt{14}}{7}\approx 0{,}5345$

$\alpha=\operatorname{arcsen} 0{,}5345\approx 32{,}31^{\circ}$



La recta $s$ forma con el plano $\pi$ un ángulo de unos $32{,}31^{\circ}$, es decir, $32^{\circ}\,19'$ aproximadamente.