Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2025

Dadas las funciones $f(x) = x^2 - 4x + 3$ y $g(x) = x + 3$

a) Calcule la primitiva de $\dfrac{g(x)}{f(x)}$ que pase por el punto $(5,0)$. [1,25 puntos]

b) Calcule el área del recinto limitado por las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Calcule la primitiva de } \boldsymbol{\dfrac{g(x)}{f(x)}}\textbf{ que pase por el punto } \boldsymbol{(5,0)}\textbf{. [1,25 puntos]}$

Es la integral de una función racional con denominador de raíces reales simples, así que la descomponemos en fracciones simples.

$f(x)=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$

$\dfrac{x+3}{(x-1)(x-3)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x-3}$

$x+3=A(x-3)+B(x-1)$

$x=1:\ 4=-2A \Rightarrow A=-2 \qquad x=3:\ 6=2B \Rightarrow B=3$

$F(x)=\int\dfrac{x+3}{x^2-4x+3}\,dx=-2\ln|x-1|+3\ln|x-3|+C$

Imponemos que pase por el punto $(5,0)$.

$F(5)=-2\ln 4+3\ln 2+C=0$

$-2\ln 2^2+3\ln 2+C=-4\ln 2+3\ln 2+C=-\ln 2+C=0 \Rightarrow C=\ln 2$

La primitiva pedida es $F(x)=-2\ln|x-1|+3\ln|x-3|+\ln 2$.

$\textbf{b) Calcule el área del recinto limitado por las gráficas de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ y } \boldsymbol{g(x)}\textbf{. [1,25 puntos]}$

El recinto queda entre los puntos de corte de la parábola con la recta, así que empezamos igualándolas.

$x^2-4x+3=x+3 \Rightarrow x^2-5x=0 \Rightarrow x(x-5)=0 \Rightarrow \begin{cases}x=0\\x=5\end{cases}$

Entre esos dos valores la recta queda por encima de la parábola: la diferencia $g(x)-f(x)=-x^2+5x$ es positiva en $(0,5)$ —en $x=1$ vale 4—. El área es la integral de esa diferencia.

$\text{Área}=\int_{0}^{5}\left(-x^2+5x\right)dx=\left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{5x^2}{2}\right]_{0}^{5}$

$=-\dfrac{125}{3}+\dfrac{125}{2}=125\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{125}{6}$

El área del recinto es de $\dfrac{125}{6}\approx 20{,}83$ unidades de superficie.