Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones, con $m \in \mathbb{R}$:

$\begin{cases} mx + 7y + 5z = 0 \\ x + my + z = 3 \\ y + z = -2 \end{cases}$

a) Discuta el sistema en función del parámetro $m$. [1,5 puntos]

b) Resuélvalo para el caso $m = 1$. [1 punto]

$\textbf{a) Discuta el sistema en función del parámetro } \boldsymbol{m}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius comparando los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada con el número de incógnitas, 3.

$M=\begin{pmatrix}m&7&5\\1&m&1\\0&1&1\end{pmatrix} \qquad M^*=\left(\begin{array}{ccc|c}m&7&5&0\\1&m&1&3\\0&1&1&-2\end{array}\right)$

Desarrollamos el determinante por la tercera fila, que tiene un cero.

$|M|=m(m-1)-7(1-0)+5(1-0)=m^2-m-2$

$m^2-m-2=0 \Rightarrow m=\dfrac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\dfrac{1\pm 3}{2} \Rightarrow \begin{cases}m=2\\m=-1\end{cases}$

Si $m\neq 2$ y $m\neq -1$, entonces $\operatorname{rg}(M)=\operatorname{rg}(M^*)=3$ y el sistema es compatible determinado.

Si $m=2$, el menor $\begin{vmatrix}2&7\\1&2\end{vmatrix}=-3\neq 0$ da $\operatorname{rg}(M)=2$. Al orlarlo con la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix}2&7&0\\1&2&3\\0&1&-2\end{vmatrix}=2(-4-3)-7(-2-0)+0=-14+14=0$

Luego $\operatorname{rg}(M^*)=2$ y el sistema es compatible indeterminado.

Si $m=-1$, el menor $\begin{vmatrix}-1&7\\1&-1\end{vmatrix}=-6\neq 0$ da $\operatorname{rg}(M)=2$. Al orlarlo:

$\begin{vmatrix}-1&7&0\\1&-1&3\\0&1&-2\end{vmatrix}=-1(2-3)-7(-2-0)+0=1+14=15\neq 0$

Luego $\operatorname{rg}(M^*)=3\neq\operatorname{rg}(M)=2$ y el sistema es incompatible.

En resumen: compatible determinado si $m\neq 2$ y $m\neq -1$, compatible indeterminado si $m=2$ e incompatible si $m=-1$.

$\textbf{b) Resuélvalo para el caso } \boldsymbol{m = 1}\textbf{. [1 punto]}$

Para $m=1$ el sistema es compatible determinado, con lo que tiene solución única.

$\begin{cases} x+7y+5z=0\\ x+y+z=3\\ y+z=-2 \end{cases}$

Llevando la tercera ecuación a la segunda se despeja $x$ directamente.

$x+(y+z)=3 \Rightarrow x-2=3 \Rightarrow x=5$

Sustituimos $x=5$ y $y=-2-z$ en la primera ecuación.

$5+7(-2-z)+5z=0 \Rightarrow 5-14-7z+5z=0 \Rightarrow -2z=9 \Rightarrow z=-\dfrac{9}{2}$

$y=-2+\dfrac{9}{2}=\dfrac{5}{2}$

Comprobamos en la primera ecuación: $5+7\cdot\dfrac{5}{2}+5\cdot\left(-\dfrac{9}{2}\right)=5+\dfrac{35}{2}-\dfrac{45}{2}=0$.

La solución es $x=5$, $y=\dfrac{5}{2}$, $z=-\dfrac{9}{2}$.