Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2025

Se sabe que la altura de los estudiantes de segundo de bachillerato de una cierta población se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media 174 cm y desviación típica 12 cm.

a) Calcule el porcentaje de estudiantes cuya altura está entre 162 cm y 186 cm. [1 punto]

b) ¿Qué altura tendrá un alumno si el 67 % de los estudiantes miden más que él? [1 punto]

c) Si tomamos una muestra de 1000 estudiantes de esa población, ¿cuántos tendrán una altura superior a 170 cm? [0,5 puntos]

Llamamos $X$ a la altura en centímetros, que sigue una ley $X\sim N(174\,;\,12)$. Todas las probabilidades se calculan tipificando, es decir, pasando a la normal estándar $Z\sim N(0,1)$ mediante $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$.

$\textbf{a) Calcule el porcentaje de estudiantes cuya altura está entre 162 cm y 186 cm. [1 punto]}$

$P(162<X<186)=P\left(\dfrac{162-174}{12}<Z<\dfrac{186-174}{12}\right)=P(-1<Z<1)$

El intervalo es simétrico respecto de la media —son exactamente una desviación típica a cada lado—, así que se puede resolver con un solo valor de la tabla.

$P(-1<Z<1)=2\,P(Z<1)-1=2\cdot 0{,}8413-1=0{,}6826$



El 68,26 % de los estudiantes mide entre 162 cm y 186 cm.

$\textbf{b) ¿Qué altura tendrá un alumno si el 67 \% de los estudiantes miden más que él? [1 punto]}$

Ahora el dato es la probabilidad y la incógnita la altura. Si el 67 % mide más que él, por debajo queda el 33 %.

$P(X>x_0)=0{,}67 \Rightarrow P(X<x_0)=0{,}33$

Como esa probabilidad es menor que $0{,}5$, el valor tipificado es negativo y se busca en la tabla por simetría.

$P(Z<z_0)=0{,}33 \Rightarrow P(Z<-z_0)=0{,}67 \Rightarrow -z_0=0{,}44 \Rightarrow z_0=-0{,}44$

$\dfrac{x_0-174}{12}=-0{,}44 \Rightarrow x_0=174-0{,}44\cdot 12=168{,}72$

El alumno mide unos 168,72 cm.

$\textbf{c) Si tomamos una muestra de 1000 estudiantes de esa población, ¿cuántos tendrán una altura superior a 170 cm? [0,5 puntos]}$

Calculamos primero la probabilidad de superar los 170 cm.

$P(X>170)=P\left(Z>\dfrac{170-174}{12}\right)=P(Z>-0{,}33)=P(Z<0{,}33)=0{,}6293$

El número esperado de estudiantes es esa probabilidad por el tamaño de la muestra.

$1000\cdot 0{,}6293=629{,}3$

De los 1000 estudiantes, unos 629 tendrán una altura superior a 170 cm.