Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2025

Dadas las funciones $f(x) = 2$ y $g(x) = x^3 + x^2 - 2x$

a) Calcule $\displaystyle\int \dfrac{f(x)}{g(x)}\, dx$ [1,25 puntos]

b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de $g(x)$ y el eje $X$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Calcule } \boldsymbol{\displaystyle\int \dfrac{f(x)}{g(x)}\, dx}\textbf{ [1,25 puntos]}$

Es la integral de una función racional cuyo denominador tiene tres raíces reales simples, así que la descomponemos en fracciones simples.

$g(x)=x^3+x^2-2x=x\left(x^2+x-2\right)=x(x+2)(x-1)$

$\dfrac{2}{x(x+2)(x-1)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x+2}+\dfrac{C}{x-1}$

$2=A(x+2)(x-1)+Bx(x-1)+Cx(x+2)$

Damos a $x$ los valores de las raíces:

$x=0:\ 2=-2A \Rightarrow A=-1$

$x=-2:\ 2=6B \Rightarrow B=\dfrac{1}{3}$

$x=1:\ 2=3C \Rightarrow C=\dfrac{2}{3}$

$\int\dfrac{2}{x^3+x^2-2x}\,dx=-\ln|x|+\dfrac{1}{3}\ln|x+2|+\dfrac{2}{3}\ln|x-1|+C$

$\textbf{b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de } \boldsymbol{g(x)}\textbf{ y el eje } \boldsymbol{X}\textbf{. [1,25 puntos]}$

Los cortes con el eje son las raíces ya factorizadas: $x=-2$, $x=0$ y $x=1$. La función cambia de signo en $x=0$ —es positiva en $(-2,0)$ y negativa en $(0,1)$—, así que integramos por separado.

$\int_{-2}^{0}\left(x^3+x^2-2x\right)dx=\left[\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^3}{3}-x^2\right]_{-2}^{0}=0-\left(4-\dfrac{8}{3}-4\right)=\dfrac{8}{3}$

$\int_{0}^{1}\left(x^3+x^2-2x\right)dx=\left[\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^3}{3}-x^2\right]_{0}^{1}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}-1=-\dfrac{5}{12}$

$\text{Área}=\left|\dfrac{8}{3}\right|+\left|-\dfrac{5}{12}\right|=\dfrac{32}{12}+\dfrac{5}{12}=\dfrac{37}{12}$

El área del recinto es de $\dfrac{37}{12}\approx 3{,}08$ unidades de superficie.