Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · 2025

Dada la función $f(x) = (x-1)e^{-x}$

a) Determine los máximos y mínimos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$. [1 punto]

b) Determine la curvatura (concavidad y convexidad) y puntos de inflexión de $f(x)$. [1 punto]

c) Calcule la ecuación de la recta tangente a $f(x)$ para $x = 1$. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Determine los máximos y mínimos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. [1 punto]}$

La función es producto de un polinomio y una exponencial, de modo que su dominio es todo $\mathbb{R}$ y es derivable en él. Derivamos aplicando la regla del producto.

$f'(x)=e^{-x}+(x-1)\left(-e^{-x}\right)=e^{-x}\left(1-x+1\right)=e^{-x}(2-x)$

$f'(x)=0 \Rightarrow e^{-x}(2-x)=0 \Rightarrow x=2$

La exponencial nunca se anula y siempre es positiva, así que el signo lo decide el factor $2-x$.

$f'(0)=1\cdot 2=2>0 \qquad f'(3)=e^{-3}\cdot(-1)<0$



La función crece en $(-\infty,2)$ y decrece en $(2,+\infty)$.

Como pasa de crecer a decrecer en $x=2$, ahí hay un máximo relativo, y no hay mínimos.

$f(2)=(2-1)e^{-2}=\dfrac{1}{e^2}\approx 0{,}1353$

La función presenta un máximo relativo en el punto $\left(2,\dfrac{1}{e^2}\right)$.

$\textbf{b) Determine la curvatura (concavidad y convexidad) y puntos de inflexión de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. [1 punto]}$

La curvatura la da el signo de la segunda derivada, así que volvemos a derivar.

$f''(x)=-e^{-x}(2-x)+e^{-x}(-1)=e^{-x}(x-2-1)=e^{-x}(x-3)$

$f''(x)=0 \Rightarrow x=3$

De nuevo el signo lo decide el factor polinómico.

$f''(x)<0 \text{ si } x<3 \qquad f''(x)>0 \text{ si } x>3$

La función es cóncava hacia abajo en $(-\infty,3)$ y cóncava hacia arriba (convexa) en $(3,+\infty)$.

Como la segunda derivada cambia de signo en $x=3$, ahí hay un punto de inflexión.

$f(3)=(3-1)e^{-3}=\dfrac{2}{e^3}\approx 0{,}0996$

El punto de inflexión es $\left(3,\dfrac{2}{e^3}\right)$.

$\textbf{c) Calcule la ecuación de la recta tangente a } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ para } \boldsymbol{x = 1}\textbf{. [0,5 puntos]}$

La recta tangente en un punto tiene por pendiente la derivada en ese punto y pasa por él.

$f(1)=(1-1)e^{-1}=0 \qquad f'(1)=e^{-1}(2-1)=\dfrac{1}{e}$

$y-f(1)=f'(1)(x-1) \Rightarrow y=\dfrac{1}{e}(x-1)$

La recta tangente en $x=1$ es $y=\dfrac{x-1}{e}$, que corta al eje $OX$ justo en el punto de tangencia.