Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el siguiente sistema de ecuaciones, donde $k \in \mathbb{R}$:

$\begin{cases} x + ky + z = 2 + k \\ 2x - y - kz = 1 - k \\ x - y - z = -1 \end{cases}$

a) Discuta el sistema en función del parámetro $k$. [1,5 puntos]

b) Resuelva para el caso $k = 1$. [1 punto]

$\textbf{a) Discuta el sistema en función del parámetro } \boldsymbol{k}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius comparando los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada con el número de incógnitas, 3.

$M=\begin{pmatrix}1&k&1\\2&-1&-k\\1&-1&-1\end{pmatrix} \qquad M^*=\left(\begin{array}{ccc|c}1&k&1&2+k\\2&-1&-k&1-k\\1&-1&-1&-1\end{array}\right)$

$|M|=1(1-k)-k(-2+k)+1(-2+1)=1-k+2k-k^2-1=k-k^2=k(1-k)$

$k(1-k)=0 \Rightarrow \begin{cases}k=0\\k=1\end{cases}$

Si $k\neq 0$ y $k\neq 1$, entonces $\operatorname{rg}(M)=\operatorname{rg}(M^*)=3$ y el sistema es compatible determinado.

Si $k=0$, el menor $\begin{vmatrix}1&0\\2&-1\end{vmatrix}=-1\neq 0$ da $\operatorname{rg}(M)=2$. Al orlarlo con la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix}1&0&2\\2&-1&1\\1&-1&-1\end{vmatrix}=1(1+1)-0+2(-2+1)=2-2=0$

Luego $\operatorname{rg}(M^*)=2$ y el sistema es compatible indeterminado.

Si $k=1$, las columnas segunda y tercera de $M$ coinciden, así que $\operatorname{rg}(M)=2$ —el menor $\begin{vmatrix}1&1\\2&-1\end{vmatrix}=-3\neq 0$ no es nulo—. Al orlarlo con la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix}1&1&3\\2&-1&0\\1&-1&-1\end{vmatrix}=1(1-0)-1(-2-0)+3(-2+1)=1+2-3=0$

Luego $\operatorname{rg}(M^*)=2$ y el sistema vuelve a ser compatible indeterminado.

En resumen: compatible determinado si $k\neq 0$ y $k\neq 1$, y compatible indeterminado para $k=0$ y para $k=1$. El sistema nunca es incompatible.

$\textbf{b) Resuelva para el caso } \boldsymbol{k = 1}\textbf{. [1 punto]}$

Para $k=1$ el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad.

$\begin{cases} x+y+z=3\\ 2x-y-z=0\\ x-y-z=-1 \end{cases}$

Sumando la primera y la tercera ecuación desaparecen $y$ y $z$ a la vez.

$(x+y+z)+(x-y-z)=3-1 \Rightarrow 2x=2 \Rightarrow x=1$

Sustituyendo en la primera ecuación queda una sola relación entre las otras dos incógnitas, así que tomamos $z=\lambda$ como parámetro.

$1+y+z=3 \Rightarrow y=2-\lambda$

$\begin{cases}x=1\\y=2-\lambda\\z=\lambda\end{cases}\qquad \lambda\in\mathbb{R}$

Comprobamos en la segunda ecuación, que no se ha usado: $2\cdot 1-(2-\lambda)-\lambda=2-2+\lambda-\lambda=0$.

El sistema tiene infinitas soluciones, una por cada valor real de $\lambda$.