Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

Dados los planos $\pi_1: x + ky - 3z - 6 = 0$, $\pi_2: 2x - y - 5 = 0$ y el punto $A(2,3,-4)$:

a) Calcule el valor de $k$ para que los planos $\pi_1$ y $\pi_2$ sean perpendiculares. [0,5 puntos]

b) Para $k = 2$, calcule el simétrico del punto $A$ respecto del plano $\pi_1$. [1,5 puntos]

c) Para $k = 2$, calcule la distancia del punto $A$ al plano $\pi_1$. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Calcule el valor de } \boldsymbol{k}\textbf{ para que los planos } \boldsymbol{\pi_1}\textbf{ y } \boldsymbol{\pi_2}\textbf{ sean perpendiculares. [0,5 puntos]}$

Dos planos son perpendiculares cuando lo son sus vectores normales, es decir, cuando su producto escalar es nulo.

$\vec n_1=(1,k,-3) \qquad \vec n_2=(2,-1,0)$

$\vec n_1\cdot\vec n_2=2-k+0=0 \Rightarrow k=2$

Los planos son perpendiculares para $k=2$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{k = 2}\textbf{, calcule el simétrico del punto } \boldsymbol{A}\textbf{ respecto del plano } \boldsymbol{\pi_1}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Con $k=2$ el plano es $\pi_1: x+2y-3z-6=0$. El simétrico se obtiene en tres pasos: se traza la recta perpendicular al plano por $A$, se halla el pie $M$ de esa perpendicular y se impone que $M$ sea el punto medio de $A$ y $A'$.

i) La recta perpendicular tiene por director la normal del plano.

$s:\begin{cases}x=2+t\\y=3+2t\\z=-4-3t\end{cases}$

ii) Sustituimos en la ecuación del plano para hallar el pie.

$(2+t)+2(3+2t)-3(-4-3t)-6=0$

$2+t+6+4t+12+9t-6=0 \Rightarrow 14t+14=0 \Rightarrow t=-1$

$M=(2-1,\,3-2,\,-4+3)=(1,1,-1)$

iii) Imponemos que $M$ sea el punto medio del segmento $AA'$.

$A'=2M-A=(2\cdot 1-2,\;2\cdot 1-3,\;2\cdot(-1)-(-4))=(0,-1,2)$



El simétrico de $A$ respecto de $\pi_1$ es el punto $A'(0,-1,2)$.

$\textbf{c) Para } \boldsymbol{k = 2}\textbf{, calcule la distancia del punto } \boldsymbol{A}\textbf{ al plano } \boldsymbol{\pi_1}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano.

$d(A,\pi_1)=\dfrac{|2+2\cdot 3-3\cdot(-4)-6|}{\sqrt{1+4+9}}=\dfrac{|14|}{\sqrt{14}}=\sqrt{14}\approx 3{,}74$

La distancia del punto $A$ al plano es de $\sqrt{14}\approx 3{,}74$ unidades, que es también la mitad de la distancia entre $A$ y su simétrico.