Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Dado el sistema

$\begin{cases} kx + 2y - z = 3k \\ 2x + ky - 2z = 6 \\ x - y + z = k \end{cases}$

a) Discuta dicho sistema según los valores del parámetro $k$. [1,5 puntos]

b) Resuelva el sistema para el valor $k = 3$. [1 punto]

$\textbf{a) Discuta dicho sistema según los valores del parámetro } \boldsymbol{k}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius comparando los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada con el número de incógnitas, 3.

$M=\begin{pmatrix}k&2&-1\\2&k&-2\\1&-1&1\end{pmatrix} \qquad M^*=\left(\begin{array}{ccc|c}k&2&-1&3k\\2&k&-2&6\\1&-1&1&k\end{array}\right)$

$|M|=k(k-2)-2(2+2)-1(-2-k)=k^2-2k-8+2+k=k^2-k-6$

$k^2-k-6=0 \Rightarrow k=\dfrac{1\pm\sqrt{1+24}}{2}=\dfrac{1\pm 5}{2} \Rightarrow \begin{cases}k=3\\k=-2\end{cases}$

Si $k\neq 3$ y $k\neq -2$, entonces $\operatorname{rg}(M)=\operatorname{rg}(M^*)=3$ y el sistema es compatible determinado.

Si $k=3$, el menor $\begin{vmatrix}3&2\\2&3\end{vmatrix}=5\neq 0$ da $\operatorname{rg}(M)=2$. Orlando ese menor con la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix}3&2&9\\2&3&6\\1&-1&3\end{vmatrix}=3(9+6)-2(6-6)+9(-2-3)=45-45=0$

Luego $\operatorname{rg}(M^*)=2$ y el sistema es compatible indeterminado.

Si $k=-2$, el menor $\begin{vmatrix}-2&-1\\2&-2\end{vmatrix}=6\neq 0$ da $\operatorname{rg}(M)=2$. Al orlarlo con la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix}-2&-1&-6\\2&-2&6\\1&1&-2\end{vmatrix}=-2(4-6)+1(-4-6)-6(2+2)=4-10-24=-30\neq 0$

Luego $\operatorname{rg}(M^*)=3\neq\operatorname{rg}(M)=2$ y el sistema es incompatible.

En resumen: compatible determinado si $k\neq 3$ y $k\neq -2$, compatible indeterminado si $k=3$ e incompatible si $k=-2$.

$\textbf{b) Resuelva el sistema para el valor } \boldsymbol{k = 3}\textbf{. [1 punto]}$

Para $k=3$ el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad, así que pasamos una incógnita al segundo miembro. Tomamos $z=\lambda$ y nos quedamos con las dos ecuaciones del menor no nulo.

$\begin{cases} 3x+2y=9+\lambda\\ x-y=3-\lambda \end{cases}$

Despejando $x=3-\lambda+y$ en la primera:

$3(3-\lambda+y)+2y=9+\lambda \Rightarrow 9-3\lambda+5y=9+\lambda \Rightarrow y=\dfrac{4\lambda}{5}$

$x=3-\lambda+\dfrac{4\lambda}{5}=3-\dfrac{\lambda}{5}$

Para que la solución quede con números enteros llamamos $\lambda=5t$.

$\begin{cases}x=3-t\\y=4t\\z=5t\end{cases}\qquad t\in\mathbb{R}$

Comprobamos en la segunda ecuación, que no se ha usado: $2(3-t)+3(4t)-2(5t)=6-2t+12t-10t=6$.

El sistema tiene infinitas soluciones, una por cada valor real de $t$.