Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2026

En un estudio realizado por una empresa hotelera se ha obtenido que la distribución del tiempo de estancia del viajero en el hotel es una ley normal de media 3,7 días y desviación típica 1,5 días. Calcule:

a) ¿Qué probabilidad habrá de que un viajero permanezca en el hotel entre 2 y 5 días? [0,75 puntos]

b) Si se contabilizan 1000 viajeros, ¿cuántos han estado en el hotel más de 7 días? [0,75 puntos]

c) La empresa quiere bonificar con un descuento a los viajeros que permanezcan muchos días. Después de hacer un estudio del presupuesto con el que cuenta la empresa, solo se puede aplicar al 10 % de los viajeros. ¿A partir de qué número de días de permanencia se les podrá aplicar el descuento? [1 punto]

Llamamos $X$ a la variable «días de estancia del viajero en el hotel», que sigue una ley $X\sim N(3{,}7\,;\,1{,}5)$. Todas las probabilidades se calculan tipificando, es decir, pasando a la normal estándar $Z\sim N(0,1)$ mediante $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$.

$\textbf{a) ¿Qué probabilidad habrá de que un viajero permanezca en el hotel entre 2 y 5 días? [0,75 puntos]}$

$P(2<X<5)=P\left(\dfrac{2-3{,}7}{1{,}5}<Z<\dfrac{5-3{,}7}{1{,}5}\right)=P(-1{,}13<Z<0{,}87)$

$P(-1{,}13<Z<0{,}87)=P(Z<0{,}87)-P(Z<-1{,}13)$

Por la simetría de la campana, $P(Z<-1{,}13)=1-P(Z<1{,}13)$.

$=0{,}8078-(1-0{,}8708)=0{,}8078-0{,}1292=0{,}6786$

La probabilidad de que un viajero permanezca entre 2 y 5 días es de $0{,}6786$, casi el 68 %.

$\textbf{b) Si se contabilizan 1000 viajeros, ¿cuántos han estado en el hotel más de 7 días? [0,75 puntos]}$

Calculamos primero la probabilidad de que un viajero pase más de 7 días.

$P(X>7)=P\left(Z>\dfrac{7-3{,}7}{1{,}5}\right)=P(Z>2{,}2)=1-P(Z<2{,}2)$

$P(X>7)=1-0{,}9861=0{,}0139$

El número esperado de viajeros es esa probabilidad por el total.

$1000\cdot 0{,}0139=13{,}9$

De cada 1000 viajeros, unos 14 han estado en el hotel más de 7 días.

$\textbf{c) La empresa quiere bonificar con un descuento a los viajeros que permanezcan muchos días. Después de hacer un estudio del presupuesto con el que cuenta la empresa, solo se puede aplicar al 10 \% de los viajeros. ¿A partir de qué número de días de permanencia se les podrá aplicar el descuento? [1 punto]}$

Ahora el dato es la probabilidad y la incógnita el número de días. Buscamos el valor $x_0$ que deja a su derecha el 10 % de los viajeros.

$P(X>x_0)=0{,}10 \Rightarrow P(X<x_0)=0{,}90$

$P\left(Z<\dfrac{x_0-3{,}7}{1{,}5}\right)=0{,}90 \Rightarrow \dfrac{x_0-3{,}7}{1{,}5}=1{,}28$

$x_0=3{,}7+1{,}28\cdot 1{,}5=5{,}62$



El descuento se podrá aplicar a los viajeros que permanezcan más de 5,62 días, es decir, a partir de la sexta noche.