Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

a) Sean los puntos $A(1,3,-2)$ y $B(3,-1,2)$, calcule la ecuación del plano perpendicular al vector $\overrightarrow{AB}$ y que pasa por el punto que divide el segmento $AB$ en dos partes iguales. [1 punto]

b) Calcule la distancia del punto $A$ al plano $\pi: 2x - y + 2z - 4 = 0$. [0,75 puntos]

c) Obtenga la ecuación del plano paralelo al plano $\pi$ y que pase por el punto $B$. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Sean los puntos } \boldsymbol{A(1,3,-2)}\textbf{ y } \boldsymbol{B(3,-1,2)}\textbf{, calcule la ecuación del plano perpendicular al vector } \boldsymbol{\overrightarrow{AB}}\textbf{ y que pasa por el punto que divide el segmento } \boldsymbol{AB}\textbf{ en dos partes iguales. [1 punto]}$

El plano pedido es el plano mediador del segmento: pasa por su punto medio y tiene por vector normal el propio $\overrightarrow{AB}$.

$\overrightarrow{AB}=B-A=(3-1,\,-1-3,\,2-(-2))=(2,-4,4)$

$M=\dfrac{A+B}{2}=\left(\dfrac{1+3}{2},\dfrac{3-1}{2},\dfrac{-2+2}{2}\right)=(2,1,0)$

Con la normal y un punto, la ecuación del plano es inmediata.

$2(x-2)-4(y-1)+4(z-0)=0$

$2x-4y+4z-4+4=0 \Rightarrow 2x-4y+4z=0 \Rightarrow x-2y+2z=0$

El plano pedido es $x-2y+2z=0$; se comprueba que $M(2,1,0)$ lo verifica: $2-2+0=0$.

$\textbf{b) Calcule la distancia del punto } \boldsymbol{A}\textbf{ al plano } \boldsymbol{\pi: 2x - y + 2z - 4 = 0}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano, que mide la longitud del segmento perpendicular.

$d(A,\pi)=\dfrac{|2x_0-y_0+2z_0-4|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}}$

$d(A,\pi)=\dfrac{|2\cdot 1-3+2\cdot(-2)-4|}{\sqrt{9}}=\dfrac{|-9|}{3}=3$

La distancia del punto $A$ al plano $\pi$ es de 3 unidades.



$\textbf{c) Obtenga la ecuación del plano paralelo al plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ y que pase por el punto } \boldsymbol{B}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Dos planos son paralelos cuando comparten vector normal, así que el plano buscado tiene la misma parte lineal y solo cambia el término independiente.

$\pi': 2x-y+2z+D=0$

Imponemos que pase por $B(3,-1,2)$:

$2\cdot 3-(-1)+2\cdot 2+D=0 \Rightarrow 6+1+4+D=0 \Rightarrow D=-11$

El plano pedido es $2x-y+2z-11=0$.