Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2026

Dadas las funciones $f(x) = 8 - 8x$ y $g(x) = x^3 - 4x$

a) Calcule $\displaystyle\int \dfrac{f(x)}{g(x)}\, dx$ [1,25 puntos]

b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de $g(x)$ y el eje $X$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Calcule } \boldsymbol{\displaystyle\int \dfrac{f(x)}{g(x)}\, dx}\textbf{ [1,25 puntos]}$

Es la integral de una función racional cuyo denominador tiene tres raíces reales simples, así que la descomponemos en fracciones simples.

$g(x)=x^3-4x=x(x-2)(x+2)$

$\dfrac{8-8x}{x(x-2)(x+2)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x-2}+\dfrac{C}{x+2}$

Multiplicando por el denominador común e igualando numeradores:

$8-8x=A(x-2)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x-2)$

Damos a $x$ los valores de las raíces:

$x=0:\ 8=-4A \Rightarrow A=-2$

$x=2:\ -8=8B \Rightarrow B=-1$

$x=-2:\ 24=8C \Rightarrow C=3$

$\int\dfrac{8-8x}{x^3-4x}\,dx=\int\left(\dfrac{-2}{x}+\dfrac{-1}{x-2}+\dfrac{3}{x+2}\right)dx$

$=-2\ln|x|-\ln|x-2|+3\ln|x+2|+C$

$\int\dfrac{f(x)}{g(x)}\,dx=\ln\dfrac{|x+2|^3}{x^2\,|x-2|}+C$

$\textbf{b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de } \boldsymbol{g(x)}\textbf{ y el eje } \boldsymbol{X}\textbf{. [1,25 puntos]}$

El recinto queda entre los cortes de la cúbica con el eje, que son las raíces ya factorizadas.

$x^3-4x=0 \Rightarrow x(x-2)(x+2)=0 \Rightarrow x=-2,\ x=0,\ x=2$

La función cambia de signo en $x=0$ —es positiva en $(-2,0)$ y negativa en $(0,2)$—, así que integramos por separado y sumamos los valores absolutos.

$\int_{-2}^{0}\left(x^3-4x\right)dx=\left[\dfrac{x^4}{4}-2x^2\right]_{-2}^{0}=0-(4-8)=4$

$\int_{0}^{2}\left(x^3-4x\right)dx=\left[\dfrac{x^4}{4}-2x^2\right]_{0}^{2}=4-8=-4$

$\text{Área}=|4|+|-4|=8$

Los dos trozos tienen la misma área, como cabía esperar de una función impar. El área del recinto es de 8 unidades de superficie.