Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2026

Dada la función $f(x) = \dfrac{x^2 - 2x + 4}{x - 2}$

a) Estudie y obtenga las asíntotas de la función $f$. [1 punto]

b) Determine los máximos y mínimos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$. [1 punto]

c) Con los datos obtenidos, represente de forma aproximada la gráfica de $f(x)$. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Estudie y obtenga las asíntotas de la función } \boldsymbol{f}\textbf{. [1 punto]}$

El dominio es $\mathbb{R}-\{2\}$, porque el denominador solo se anula en $x=2$. Como el numerador no se anula ahí, ese valor es candidato a asíntota vertical.

$\lim_{x\to 2^-}\dfrac{x^2-2x+4}{x-2}=\dfrac{4}{0^-}=-\infty \qquad \lim_{x\to 2^+}\dfrac{x^2-2x+4}{x-2}=\dfrac{4}{0^+}=+\infty$

La recta $x=2$ es asíntota vertical.

El grado del numerador supera en una unidad al del denominador, así que no hay asíntota horizontal pero sí oblicua. La obtenemos haciendo la división entera.

$f(x)=\dfrac{x^2-2x+4}{x-2}=x+\dfrac{4}{x-2}$

$\lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-x\big)=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{4}{x-2}=0$

La recta $y=x$ es asíntota oblicua, tanto por la izquierda como por la derecha.

$\textbf{b) Determine los máximos y mínimos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. [1 punto]}$

Derivamos a partir de la expresión $f(x)=x+4(x-2)^{-1}$, que es más cómoda, e igualamos a cero.

$f'(x)=1-\dfrac{4}{(x-2)^2}=\dfrac{(x-2)^2-4}{(x-2)^2}$

$f'(x)=0 \Rightarrow (x-2)^2=4 \Rightarrow x-2=\pm 2 \Rightarrow \begin{cases}x=0\\x=4\end{cases}$

El denominador es siempre positivo, de modo que el signo lo decide $(x-2)^2-4$. Añadimos $x=2$, que no pertenece al dominio, y estudiamos los cuatro tramos.

$f'(-1)=1-\dfrac{4}{9}>0 \qquad f'(1)=1-4=-3<0 \qquad f'(3)=1-4=-3<0 \qquad f'(5)=1-\dfrac{4}{9}>0$



La función crece en $(-\infty,0)\cup(4,+\infty)$ y decrece en $(0,2)\cup(2,4)$.

Como pasa de crecer a decrecer en $x=0$, ahí hay un máximo relativo, y como pasa de decrecer a crecer en $x=4$, ahí hay un mínimo relativo.

$f(0)=\dfrac{4}{-2}=-2 \qquad f(4)=\dfrac{16-8+4}{2}=6$

Hay un máximo relativo en $(0,-2)$ y un mínimo relativo en $(4,6)$. Nótese que el máximo queda por debajo del mínimo, cosa posible porque entre ambos está la asíntota vertical.

$\textbf{c) Con los datos obtenidos, represente de forma aproximada la gráfica de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Con las dos asíntotas y los dos extremos ya queda determinada la forma de las dos ramas: la de la izquierda sube desde $-\infty$ hasta el máximo y baja hacia $-\infty$ pegándose a $x=2$; la de la derecha baja desde $+\infty$ hasta el mínimo y vuelve a subir apoyándose en la oblicua.