Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el siguiente sistema de ecuaciones, donde $k \in \mathbb{R}$:

$\begin{cases} x + y + kz = k \\ kx + (k-1)y + z = 2 \\ x + y + z = 1 \end{cases}$

a) Discuta el sistema en función del parámetro $k$. [1,5 puntos]

b) Resuélvalo para el caso $k = 2$. [1 punto]

$\textbf{a) Discuta el sistema en función del parámetro } \boldsymbol{k}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius: comparamos el rango de la matriz de coeficientes $M$ con el de la ampliada $M^*$ y con el número de incógnitas, que es 3.

$M=\begin{pmatrix}1&1&k\\k&k-1&1\\1&1&1\end{pmatrix} \qquad M^*=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&k&k\\k&k-1&1&2\\1&1&1&1\end{array}\right)$

Empezamos por el determinante de $M$, desarrollándolo por la primera fila.

$|M|=1\cdot\big[(k-1)-1\big]-1\cdot\big[k-1\big]+k\cdot\big[k-(k-1)\big]$

$|M|=k-2-k+1+k=k-1$

$|M|=0 \Rightarrow k=1$

Si $k\neq 1$, entonces $|M|\neq 0$ y $\operatorname{rg}(M)=\operatorname{rg}(M^*)=3$, igual al número de incógnitas: el sistema es compatible determinado.

Si $k=1$, la matriz ampliada queda

$M^*=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\\1&0&1&2\\1&1&1&1\end{array}\right)$

La primera y la tercera fila son idénticas, y las dos primeras no son proporcionales, así que el menor $\begin{vmatrix}1&1\\1&0\end{vmatrix}=-1\neq 0$ da rango 2 tanto en $M$ como en $M^*$.

$\operatorname{rg}(M)=\operatorname{rg}(M^*)=2<3$

El sistema es compatible indeterminado, con un grado de libertad.

En resumen: para $k\neq 1$ el sistema es compatible determinado y para $k=1$ es compatible indeterminado. No hay ningún valor de $k$ que lo haga incompatible.

$\textbf{b) Resuélvalo para el caso } \boldsymbol{k = 2}\textbf{. [1 punto]}$

Para $k=2$ el sistema es compatible determinado, con lo que tiene solución única.

$\begin{cases} x+y+2z=2\\ 2x+y+z=2\\ x+y+z=1 \end{cases}$

Restando la tercera ecuación de la primera se despeja $z$ de golpe.

$(x+y+2z)-(x+y+z)=2-1 \Rightarrow z=1$

Sustituyendo en la tercera ecuación:

$x+y+1=1 \Rightarrow x+y=0 \Rightarrow y=-x$

Y llevando ambas cosas a la segunda:

$2x-x+1=2 \Rightarrow x=1 \Rightarrow y=-1$

Comprobamos en la primera ecuación: $1-1+2\cdot 1=2$.

La solución del sistema para $k=2$ es $x=1$, $y=-1$, $z=1$.