Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2023

8. Estadística y Probabilidad:

a) En un cierto humedal, la probabilidad de que un renacuajo llegue a rana adulta es del 2 %. Si se escogen al azar 2500 de esos renacuajos, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 55 de ellos lleguen a ranas adultas?
b) Para conceder becas de estudio, un organismo valora los méritos presentados y asigna a cada candidato una puntuación que indica más méritos cuanto mayor es su valor. Este año, la puntuación sigue una distribución normal de media 100 y desviación típica 20, y se toma la decisión de conceder la beca al 5 % mejor del conjunto de solicitantes. ¿Qué puntuación es preciso alcanzar para obtener la beca?

$\textbf{a) En un cierto humedal, la probabilidad de que un renacuajo llegue a rana adulta es del 2 \%. Si se escogen al azar 2500 de esos renacuajos, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 55 de ellos lleguen a ranas adultas?}$

Sea $X$ el número de renacuajos, de entre los 2500, que llegan a rana adulta. Cada uno lo consigue o no con probabilidad constante e independientemente de los demás, luego

$X\sim B(2500;\,0{,}02)$

Calcular directamente $P(X\ge 55)$ obligaría a sumar más de dos mil términos. Como el número de pruebas es grande, aproximamos la binomial por una normal, lo que es lícito porque

$np=2500\cdot 0{,}02=50>5 \qquad nq=2500\cdot 0{,}98=2450>5$

$\mu=np=50 \qquad \sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{2500\cdot 0{,}02\cdot 0{,}98}=\sqrt{49}=7$

$X\sim B(2500;\,0{,}02)\ \longrightarrow\ X'\sim N(50,\,7)$

Al pasar de una variable discreta a una continua aplicamos la corrección de continuidad, restando media unidad al extremo del intervalo.

$P(X\ge 55)\approx P(X'\ge 54{,}5)=P\left(Z\ge\dfrac{54{,}5-50}{7}\right)=P(Z\ge 0{,}64)$

$P(Z\ge 0{,}64)=1-P(Z\le 0{,}64)=1-0{,}7389=0{,}2611$

La probabilidad de que al menos 55 de los 2500 renacuajos lleguen a ranas adultas es de 0,2611, algo más del 26 %.

$\textbf{b) Para conceder becas de estudio, un organismo valora los méritos presentados y asigna a cada candidato una puntuación que indica más méritos cuanto mayor es su valor. Este año, la puntuación sigue una distribución normal de media 100 y desviación típica 20, y se toma la decisión de conceder la beca al 5 \% mejor del conjunto de solicitantes. ¿Qué puntuación es preciso alcanzar para obtener la beca?}$

Sea $X$ la puntuación de un candidato, $X\sim N(100,\,20)$. Buscamos el valor $q$ que deja a su derecha únicamente al 5 % de los solicitantes.

$P(X>q)=0{,}05 \Rightarrow P\left(Z>\dfrac{q-100}{20}\right)=0{,}05$

Pasamos al suceso contrario para poder usar la tabla:

$P\left(Z\le\dfrac{q-100}{20}\right)=1-0{,}05=0{,}95 \Rightarrow \dfrac{q-100}{20}=1{,}645$



$q=100+1{,}645\cdot 20=100+32{,}9=132{,}9$

Es preciso alcanzar una puntuación de 132,9 para obtener la beca.