Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

EJERCICIO 4. Análisis.
Los beneficios obtenidos durante el primer año (en cientos de euros) por un establecimiento dedicado al reparto de comida a domicilio vienen dados por la función
$B(t) = t(t-a)^2\ , \qquad 0 \le t \le 12$
en donde $t$ es el tiempo transcurrido en meses desde la apertura del establecimiento.

a) Calcule el valor del parámetro $a$ teniendo en cuenta que $B(t)$ presenta un punto de inflexión en $t = 6$.
b) Para $a = 9$, ¿cuál ha sido el mayor beneficio obtenido? ¿En qué momento o momentos se ha producido? Justifica las respuestas.
c) Para $a = 9$, represente la gráfica de la función $B(t)$ teniendo en cuenta la información anterior y el estudio de sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

$\textbf{a) Calcule el valor del parámetro } \boldsymbol{a}\textbf{ teniendo en cuenta que } \boldsymbol{B(t)}\textbf{ presenta un punto de inflexión en } \boldsymbol{t = 6}\textbf{.}$

En un punto de inflexión se anula la segunda derivada, así que desarrollamos la función y derivamos dos veces.

$B(t) = t(t-a)^2 = t^3 - 2at^2 + a^2 t$

$B'(t) = 3t^2 - 4at + a^2$

$B''(t) = 6t - 4a$

$B''(6) = 0 \Rightarrow 36 - 4a = 0 \Rightarrow a = 9$

El valor del parámetro es $a = 9$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{a = 9}\textbf{, ¿cuál ha sido el mayor beneficio obtenido? ¿En qué momento o momentos se ha producido? Justifica las respuestas.}$

Con $a = 9$ la función es $B(t) = t(t-9)^2$. Buscamos sus puntos críticos.

$B'(t) = 3t^2 - 36t + 81 = 3(t^2 - 12t + 27) = 3(t-3)(t-9)$

$B'(t) = 0 \Rightarrow t = 3 \text{ y } t = 9$

Estudiamos el signo de la derivada en cada tramo de $[0,12]$.

$\begin{cases} B'(1) = 3(-2)(-8) = 48 > 0 \\ B'(6) = 3(3)(-3) = -27 < 0 \\ B'(10) = 3(7)(1) = 21 > 0 \end{cases}$



Hay un máximo relativo en $t = 3$ y un mínimo relativo en $t = 9$. Para el máximo absoluto comparamos ese máximo relativo con los extremos del intervalo.

$B(0) = 0$

$B(3) = 3(3-9)^2 = 3 \cdot 36 = 108$

$B(12) = 12(12-9)^2 = 12 \cdot 9 = 108$

El mayor beneficio obtenido fue de 108 cientos de euros, es decir, 10.800 euros, y se produjo en dos momentos: a los 3 meses de la apertura y a los 12 meses.

$\textbf{c) Para } \boldsymbol{a = 9}\textbf{, represente la gráfica de la función } \boldsymbol{B(t)}\textbf{ teniendo en cuenta la información anterior y el estudio de sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.}$

Además de los extremos ya calculados, la función corta al eje de abscisas en $t = 0$ y en $t = 9$, y tiene su punto de inflexión en $t = 6$, donde $B(6) = 6 \cdot 9 = 54$.



La gráfica sube desde el origen hasta el máximo $(3,108)$, baja hasta tocar el eje en el mínimo $(9,0)$ y vuelve a subir hasta $(12,108)$.