Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

EJERCICIO 3. Análisis.
El volumen de agua (en millones de litros) almacenado en un embalse a lo largo de un periodo de 11 años en función del tiempo t (en años) viene dado por la función
$V(t) = t^3 - 24t^2 + 180t + 8000, \quad 0 \le t \le 11$

a) Determine los períodos de crecimiento y decrecimiento del agua almacenada.
b) Calcule la cantidad de agua almacenada en el último año (t = 11).
c) Calcule el año del periodo en el que el volumen almacenado fue máximo y el volumen máximo que tuvo el embalse a lo largo de ese periodo.

$\textbf{a) Determine los períodos de crecimiento y decrecimiento del agua almacenada.}$

Los períodos de crecimiento y decrecimiento los da el signo de la derivada, así que la calculamos y buscamos sus ceros.

$V'(t) = 3t^2 - 48t + 180 = 3(t^2 - 16t + 60)$

$t^2 - 16t + 60 = 0 \Rightarrow t = \dfrac{16 \pm \sqrt{256 - 240}}{2} = \dfrac{16 \pm 4}{2} \Rightarrow \begin{cases} t = 6 \\ t = 10 \end{cases}$

$V'(t) = 3(t-6)(t-10)$

Estudiamos el signo tomando un valor de prueba en cada tramo de $[0,11]$.

$\begin{cases} V'(0) = 3(-6)(-10) = 180 > 0 \\ V'(8) = 3(2)(-2) = -12 < 0 \\ V'(11) = 3(5)(1) = 15 > 0 \end{cases}$



El agua almacenada crece durante los seis primeros años y durante el último del periodo, es decir, en $(0,6)$ y en $(10,11)$, y decrece entre el sexto y el décimo año.

$\textbf{b) Calcule la cantidad de agua almacenada en el último año (t = 11).}$

Basta con sustituir en la función.

$V(11) = 11^3 - 24 \cdot 11^2 + 180 \cdot 11 + 8000$

$V(11) = 1331 - 2904 + 1980 + 8000 = 8407$

En el último año el embalse almacenaba 8407 millones de litros de agua.

$\textbf{c) Calcule el año del periodo en el que el volumen almacenado fue máximo y el volumen máximo que tuvo el embalse a lo largo de ese periodo.}$

El máximo absoluto en un intervalo cerrado se busca entre los puntos donde cambia el crecimiento y los extremos del intervalo.

$V(0) = 8000$

$V(6) = 216 - 864 + 1080 + 8000 = 8432$

$V(10) = 1000 - 2400 + 1800 + 8000 = 8400$

$V(11) = 8407$

Comparando los cuatro valores, el mayor es 8432.

El volumen almacenado fue máximo en el sexto año del periodo, con 8432 millones de litros.