Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

EJERCICIO 4. Análisis.
Dada la función $f(x) = \dfrac{x}{a} + \dfrac{a}{x}$, $x \ne 0$, $a \ne 0$

a) Calcule los valores del parámetro "a" para que $f(x)$ tenga un punto crítico en $x_0 = 3$.
b) Para a=3, estudie el crecimiento y decrecimiento de la función y sus máximos y mínimos, si existen. Estudie también sus intervalos de concavidad y convexidad y sus puntos de inflexión, si existen.

$\textbf{a) Calcule los valores del parámetro "a" para que } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ tenga un punto crítico en } \boldsymbol{x_0 = 3}\textbf{.}$

Un punto crítico es aquel en el que se anula la derivada, así que derivamos respecto de $x$ tratando $a$ como una constante.

$f(x) = \dfrac{x}{a} + \dfrac{a}{x} = \dfrac{1}{a}x + a x^{-1}$

$f'(x) = \dfrac{1}{a} - \dfrac{a}{x^2}$

$f'(3) = 0 \Rightarrow \dfrac{1}{a} - \dfrac{a}{9} = 0 \Rightarrow \dfrac{1}{a} = \dfrac{a}{9} \Rightarrow a^2 = 9$

$a = \pm 3$

Los valores del parámetro son $a = 3$ y $a = -3$; ambos son válidos porque el enunciado solo excluye $a = 0$.

$\textbf{b) Para a=3, estudie el crecimiento y decrecimiento de la función y sus máximos y mínimos, si existen. Estudie también sus intervalos de concavidad y convexidad y sus puntos de inflexión, si existen.}$

Con $a = 3$ la función y su derivada quedan:

$f(x) = \dfrac{x}{3} + \dfrac{3}{x} \Rightarrow f'(x) = \dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{x^2} = \dfrac{x^2 - 9}{3x^2}$

$f'(x) = 0 \Rightarrow x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x = \pm 3$

El punto $x = 0$ no pertenece al dominio, así que hay que tenerlo en cuenta al estudiar el signo. El denominador $3x^2$ es siempre positivo, de modo que el signo de la derivada es el de $x^2 - 9$.

$\begin{cases} f'(-4) = \frac{16-9}{48} > 0 \\ f'(-1) = \frac{1-9}{3} < 0 \\ f'(1) = \frac{1-9}{3} < 0 \\ f'(4) = \frac{16-9}{48} > 0 \end{cases}$



La función crece en $(-\infty,-3)$ y en $(3,+\infty)$, y decrece en $(-3,0)$ y en $(0,3)$.

$f(-3) = -1 - 1 = -2 \qquad f(3) = 1 + 1 = 2$

Hay un máximo relativo en $(-3,-2)$, porque la función pasa de crecer a decrecer, y un mínimo relativo en $(3,2)$, porque pasa de decrecer a crecer.

Para la curvatura calculamos la segunda derivada.

$f''(x) = \dfrac{6}{x^3}$

$\begin{cases} \text{Si } x < 0, \quad f''(x) < 0 \\ \text{Si } x > 0, \quad f''(x) > 0 \end{cases}$

La función es cóncava en $(-\infty,0)$ y convexa en $(0,+\infty)$. La segunda derivada no se anula nunca y el único punto donde cambia de signo, $x = 0$, no pertenece al dominio, de modo que la función no tiene puntos de inflexión.