Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2023

EJERCICIO 3. Análisis.
El número de ejemplares vendidos de una revista (en miles de unidades), en los primeros cinco meses del año, viene dado por la función
$N(t) = \begin{cases} 8 - t(t-2) & \text{si } 0 \le t \le 3 \\ 2t - 1 & \text{si } 3 < t \le 5 \end{cases}$ donde $t$ es el tiempo transcurrido en meses

a) Estudie el crecimiento y decrecimiento del número de ejemplares vendidos. Calcule en qué momentos se produce el máximo y el mínimo número de ventas y a cuánto ascienden.
b) Represente gráficamente la función N(t). Calcule el área de la región delimitada por la gráfica de la función N(t), el eje de abscisas y las rectas t=0 y t=5.

$\textbf{a) Estudie el crecimiento y decrecimiento del número de ejemplares vendidos. Calcule en qué momentos se produce el máximo y el mínimo número de ventas y a cuánto ascienden.}$

Derivamos cada trozo por separado.

$N(t) = \begin{cases} 8 - t^2 + 2t & 0 \le t \le 3 \\ 2t - 1 & 3 < t \le 5 \end{cases} \Rightarrow N'(t) = \begin{cases} -2t + 2 & 0 < t < 3 \\ 2 & 3 < t < 5 \end{cases}$

$-2t + 2 = 0 \Rightarrow t = 1$

En el primer trozo la derivada es positiva antes de $t = 1$ y negativa después. En el segundo la derivada vale 2, siempre positiva, de modo que la función crece.

Las ventas crecen en $(0,1)$, decrecen en $(1,3)$ y vuelven a crecer en $(3,5)$.

Para los extremos absolutos comparamos los valores en los puntos críticos, en el empalme y en los extremos del intervalo.

$N(0) = 8 \qquad N(1) = 8 - 1 + 2 = 9 \qquad N(3) = 8 - 9 + 6 = 5 \qquad N(5) = 2 \cdot 5 - 1 = 9$

Obsérvese que en $t = 3$ los dos trozos valen 5, de modo que la función es continua.

El máximo número de ventas es de 9000 ejemplares y se alcanza en dos momentos, al mes y a los cinco meses; el mínimo es de 5000 ejemplares y se alcanza a los tres meses.

$\textbf{b) Represente gráficamente la función N(t). Calcule el área de la región delimitada por la gráfica de la función N(t), el eje de abscisas y las rectas t=0 y t=5.}$

Con la información anterior se traza la parábola del primer trozo, con vértice en $(1,9)$, y el segmento de recta del segundo.



Como la función es positiva en todo el intervalo, el área coincide con la integral definida, que hay que partir en dos porque la función está definida a trozos.

$\text{Área} = \int_0^3 (8 - t^2 + 2t)\,dt + \int_3^5 (2t-1)\,dt$

$\int_0^3 (8 - t^2 + 2t)\,dt = \left[8t - \dfrac{t^3}{3} + t^2\right]_0^3 = 24 - 9 + 9 = 24$

$\int_3^5 (2t-1)\,dt = \left[t^2 - t\right]_3^5 = (25-5) - (9-3) = 20 - 6 = 14$

$\text{Área} = 24 + 14 = 38$

El área de la región delimitada es de 38 unidades de área.