Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

EJERCICIO 1. Álgebra.
Dada la matriz
$A = \begin{pmatrix} 2 & a & a \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

a) Calcule los valores de $a$ para los cuales la matriz A tiene inversa.
b) Para $a$ = 1, calcule, si es posible, la inversa de la matriz $A$.
c) Exprese en forma matricial el sistema de ecuaciones siguiente y resuélvalo: $\left\{\begin{array}{rcrcrcr}2x &+& y &+& z &=& 2 \\ & & 2y &-& z &=& -1 \\x &+& y & & &=& 1\end{array}\right.$

$\textbf{a) Calcule los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ para los cuales la matriz A tiene inversa.}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Lo calculamos desarrollando por la primera fila.

$|A| = \begin{vmatrix} 2 & a & a \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 2(0+1) - a(0+1) + a(0-2)$

$|A| = 2 - a - 2a = 2 - 3a$

$2 - 3a = 0 \Rightarrow a = \dfrac{2}{3}$

La matriz $A$ tiene inversa para todo valor real de $a$ distinto de $\frac{2}{3}$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{a}\textbf{ = 1, calcule, si es posible, la inversa de la matriz } \boldsymbol{A}\textbf{.}$

Para $a = 1$ el determinante vale $2 - 3 = -1 \neq 0$, así que la inversa existe. La calculamos por el método de los adjuntos.

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

$\operatorname{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 2 & 4 \end{pmatrix} \Rightarrow (\operatorname{Adj}(A))^t = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \\ -1 & -1 & 2 \\ -2 & -1 & 4 \end{pmatrix}$

$A^{-1} = \dfrac{1}{|A|}(\operatorname{Adj}(A))^t = -\begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \\ -1 & -1 & 2 \\ -2 & -1 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & -4 \end{pmatrix}$

$\textbf{c) Exprese en forma matricial el sistema de ecuaciones siguiente y resuélvalo.}$

El sistema se escribe como $M \cdot X = b$, con la matriz de coeficientes, la columna de incógnitas y la de términos independientes:

$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

La matriz de coeficientes es justamente la matriz $A$ del apartado anterior con $a = 1$, cuya inversa ya conocemos, así que basta con multiplicar por ella.

$X = A^{-1}\cdot b = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & -4 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$X = \begin{pmatrix} -2+1+3 \\ 2-1-2 \\ 4-1-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}$

El sistema es compatible determinado y su solución es $x = 2$, $y = -1$, $z = -1$.