Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

PREGUNTA 1. Responda indicando y justificando la opción correcta:

1.1. Un satélite artificial describe una órbita circular alrededor de la Tierra. El trabajo que realiza la fuerza de la gravedad sobre el satélite a lo largo de media órbita es: a) positivo; b) negativo; c) nulo.
1.2. Un núcleo del isótopo ${}^{4}_{2}\mathrm{He}$ describe una trayectoria de radio $r$ en un campo magnético. Sin variar las condiciones del campo magnético ni de la dirección o velocidad de entrada, hacemos incidir un núcleo de ${}^{3}_{2}\mathrm{He}$ que describirá: a) una trayectoria de radio menor; b) una trayectoria de radio mayor; c) una trayectoria del mismo radio.

$\textbf{1.1. Un satélite artificial describe una órbita circular alrededor de la Tierra. El trabajo que realiza la fuerza de la gravedad sobre el satélite a lo largo de media órbita es:}$

La respuesta correcta es la c): nulo.

El trabajo elemental de una fuerza es:

$dW=\vec F\cdot d\vec r=F\,dr\,\cos\alpha$

En una órbita circular la fuerza gravitatoria apunta siempre hacia el centro y el desplazamiento es tangente a la circunferencia, de modo que forman en todo instante un ángulo de $90^\circ$:

$\cos 90^\circ=0\Rightarrow dW=0$

El trabajo es nulo en cualquier tramo de la órbita, no solo en media vuelta.

Se llega a lo mismo por energías: el campo gravitatorio es conservativo, así que el trabajo es la variación de energía potencial cambiada de signo, y en una órbita circular la distancia al centro no cambia:

$W=-\Delta E_p=-\left(-\dfrac{G\,M_T\,m}{r}+\dfrac{G\,M_T\,m}{r}\right)=0$

$\textbf{1.2. Un núcleo del isótopo } \boldsymbol{{}^{4}_{2}\text{He}}\textbf{ describe una trayectoria de radio } \boldsymbol{r}\textbf{ en un campo magnético. Sin variar las condiciones del campo magnético ni de la dirección o velocidad de entrada, hacemos incidir un núcleo de } \boldsymbol{{}^{3}_{2}\text{He}}\textbf{ que describirá:}$

La respuesta correcta es la a): una trayectoria de radio menor.

La fuerza magnética sobre la partícula hace de fuerza centrípeta, de donde sale el radio de la trayectoria:

$q\,v\,B=\dfrac{m\,v^2}{r}\Rightarrow r=\dfrac{m\,v}{q\,B}$

Los dos isótopos del helio tienen el mismo número atómico, $Z=2$, así que su carga es la misma. Tampoco cambian la velocidad ni el campo. Lo único que cambia es la masa: el ${}^{3}_{2}\text{He}$ tiene un neutrón menos y por tanto una masa menor.

$r\propto m\Rightarrow \dfrac{r_3}{r_4}=\dfrac{3}{4}$

El radio de la trayectoria del ${}^{3}_{2}\text{He}$ es las tres cuartas partes del anterior: menor. Este es precisamente el principio del espectrómetro de masas, que separa isótopos por el radio de su trayectoria.