Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2026

Apartado 1 - Campo gravitatorio - Opción única (2 puntos)

El 7 de enero de 1610, Galileo Galilei apuntó su telescopio hacia Júpiter y descubrió cuatro puntos luminosos a su alrededor. Observando en días sucesivos, pudo concluir que orbitan alrededor de Júpiter. Como hizo él, también nosotros, con unos prismáticos, podríamos comprobar que el satélite mayor, Ganimedes, tarda 7 días, 3 horas y 43 minutos en completar una órbita. Considerando la órbita circular:

a) Deduce razonadamente la expresión que relaciona la masa de Júpiter con el periodo orbital del satélite. Calcula su valor, sabiendo que el radio orbital de Ganimedes es $r = 1{,}07 \cdot 10^6\ \text{km}$. (1 punto)

b) Obtén razonadamente la expresión de la velocidad de escape desde la superficie de Júpiter. Calcula su valor sabiendo que la aceleración de la gravedad en su superficie es de $24{,}8\ \text{m s}^{-2}$. ¿Qué energía mecánica tendrá un cuerpo que despegue de Júpiter con dicha velocidad? (1 punto)

Datos: constante de gravitación universal, $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N m}^2/\text{kg}^2$; radio de Júpiter, $R = 71500\ \text{km}$.

$\textbf{a) Deduce razonadamente la expresión que relaciona la masa de Júpiter con el periodo orbital del satélite. Calcula su valor, sabiendo que el radio orbital de Ganimedes es } \boldsymbol{r=1{,}07\cdot10^6\ \text{km}}\textbf{. (1 punto)}$











Si la órbita es circular, la fuerza gravitatoria que Júpiter ejerce sobre el satélite es la que hace de fuerza centrípeta:

$F_g=F_c$

$G\dfrac{Mm}{r^2}=m\dfrac{v^2}{r}$





Simplificamos la masa del satélite, que no aparece en el resultado:

$\dfrac{GM}{r^2}=\dfrac{v^2}{r}\Rightarrow v^2=\dfrac{GM}{r}$

En un movimiento circular uniforme la velocidad se relaciona con el periodo mediante la longitud de la órbita:

$v=\dfrac{2\pi r}{T}$

Sustituyendo:

$\dfrac{4\pi^2r^2}{T^2}=\dfrac{GM}{r}$

y despejando la masa de Júpiter obtenemos la expresión pedida, que no es otra cosa que la tercera ley de Kepler:

$M=\dfrac{4\pi^2r^3}{G\,T^2}$

Ya deducida la expresión, pasamos los datos al Sistema Internacional:

$r=1{,}07\cdot10^6\ \text{km}=1{,}07\cdot10^9\ \text{m}$

$T=7\ \text{d}\,3\ \text{h}\,43\ \text{min}=7\cdot86400+3\cdot3600+43\cdot60=618180\ \text{s}$

Y sustituimos:

$M=\dfrac{4\pi^2\left(1{,}07\cdot10^9\right)^3}{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot618180^2}$

$M=1{,}90\cdot10^{27}\ \text{kg}$

$\textbf{b) Obtén razonadamente la expresión de la velocidad de escape desde la superficie de Júpiter. Calcula su valor sabiendo que la aceleración de la gravedad en su superficie es de } \boldsymbol{24{,}8\ \text{m s}^{-2}}\textbf{. ¿Qué energía mecánica tendrá un cuerpo que despegue de Júpiter con dicha velocidad? (1 punto)}$

La velocidad de escape es la mínima con la que hay que lanzar un cuerpo desde la superficie para que llegue al infinito, donde su energía potencial y su energía cinética son nulas. Como la fuerza gravitatoria es conservativa, aplicamos la conservación de la energía mecánica:

$\dfrac{1}{2}mv_e^2-G\dfrac{Mm}{R}=0$

Despejando la velocidad:

$v_e=\sqrt{\dfrac{2GM}{R}}$

El enunciado no da la masa de Júpiter sino la gravedad en su superficie, así que usamos que

$g=\dfrac{GM}{R^2}\Rightarrow GM=gR^2$

y sustituimos:

$v_e=\sqrt{\dfrac{2gR^2}{R}}=\sqrt{2gR}$

Con $R=71500\ \text{km}=7{,}15\cdot10^7\ \text{m}$:

$v_e=\sqrt{2\cdot24{,}8\cdot7{,}15\cdot10^7}=5{,}96\cdot10^4\ \text{m/s}$

$\Rightarrow v_e=59{,}6\ \text{km/s}$

En cuanto a la energía mecánica, la propia definición de velocidad de escape la fija: es el caso límite en el que el cuerpo llega al infinito con velocidad nula, y allí las dos energías valen cero.

$E_m=\dfrac{1}{2}mv_e^2-G\dfrac{Mm}{R}=\dfrac{1}{2}m(2gR)-gRm=0$

Un cuerpo que despegue de Júpiter con la velocidad de escape tiene, por tanto, energía mecánica nula.