Ejercicio resuelto de Análisis · Matemáticas CCSS · 2026

Apartado 2. Responda un problema de este apartado de los dos propuestos.

Problema 2.B. El valor de los activos de una empresa, en millones de euros, a los $x$ años de su creación, viene dado por la función $f(x) = Ax + \dfrac{B}{x+1}$ para $x \in [0,5]$. Se sabe que, en el tiempo inicial, los activos tenían un valor de cuatro millones de euros y al cabo de un año valían un millón de euros menos. Determina:

a) Los coeficientes $A$ y $B$ de la función. (0,25 puntos)
b) El intervalo en el que el valor de los activos es mayor de 4 millones. (0,5 puntos)
c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. (1,5 puntos)
d) El momento en que el valor fue máximo y mínimo, y el valor de estos. (0,5 puntos)
e) El área entre la función $g(x) = (x + 1)f(x)$, el eje $OX$ y las rectas $x = 2$ y $x = 3$. (0,75 puntos)

$\textbf{a) Los coeficientes } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{ de la función. (0,25 puntos)}$

La función es:

$f(x)=Ax+\dfrac{B}{x+1}$

En el tiempo inicial los activos valían cuatro millones de euros:

$f(0)=A\cdot0+\dfrac{B}{0+1}=B=4$

Al cabo de un año valían un millón menos, es decir, tres millones:

$f(1)=A+\dfrac{4}{2}=A+2=3\Rightarrow A=1$

Por tanto:

$A=1,\qquad B=4\qquad\Rightarrow\qquad f(x)=x+\dfrac{4}{x+1}$

$\textbf{b) El intervalo en el que el valor de los activos es mayor de 4 millones. (0,5 puntos)}$

Planteamos la inecuación $f(x)>4$. Como $x\in[0,5]$, el denominador $x+1$ es positivo y podemos multiplicar por él:

$x+\dfrac{4}{x+1}>4\Rightarrow x(x+1)+4>4(x+1)$

$x^2+x+4>4x+4\Rightarrow x^2-3x>0\Rightarrow x(x-3)>0$

El producto es positivo cuando los dos factores tienen el mismo signo. Dentro del intervalo $[0,5]$ eso ocurre solo si $x>3$.

El valor de los activos supera los 4 millones de euros en el intervalo $]3,5]$, es decir, a partir del tercer año.

$\textbf{c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. (1,5 puntos)}$

Derivamos la función:

$f'(x)=1-\dfrac{4}{(x+1)^2}$

Igualamos a cero para localizar los puntos donde puede cambiar la monotonía:

$1-\dfrac{4}{(x+1)^2}=0\Rightarrow (x+1)^2=4\Rightarrow x+1=\pm2$

$x=1\quad\text{o}\quad x=-3$

Se descarta $x=-3$ por no pertenecer al dominio $[0,5]$.

Hacemos un estudio de signos de $f'$ a un lado y a otro de $x=1$:

$f'(0)=1-\dfrac{4}{1}=-3<0,\qquad f'(2)=1-\dfrac{4}{9}=\dfrac{5}{9}>0$

Por tanto, el valor de los activos decrece en $[0,1[$ y crece en $]1,5]$.

$\textbf{d) El momento en que el valor fue máximo y mínimo, y el valor de estos. (0,5 puntos)}$

Como la función pasa de decrecer a crecer en $x=1$, ahí hay un mínimo:

$f(1)=1+\dfrac{4}{2}=3$

Al ser el único extremo del intervalo, el máximo absoluto está en uno de los dos bordes:

$f(0)=0+\dfrac{4}{1}=4,\qquad f(5)=5+\dfrac{4}{6}=\dfrac{17}{3}\approx5{,}67$

El valor de los activos fue mínimo al año de la creación de la empresa, con 3 millones de euros, y máximo a los 5 años, con $\dfrac{17}{3}\approx5{,}67$ millones de euros.

$\textbf{e) El área entre la función } \boldsymbol{g(x)=(x+1)f(x)}\textbf{, el eje } \boldsymbol{OX}\textbf{ y las rectas } \boldsymbol{x=2}\textbf{ y } \boldsymbol{x=3}\textbf{. (0,75 puntos)}$

Calculamos primero la función $g$, que se simplifica al multiplicar:

$g(x)=(x+1)\left(x+\dfrac{4}{x+1}\right)=x(x+1)+4=x^2+x+4$

En el intervalo $[2,3]$ la función es positiva, así que el área coincide con la integral definida:

$\text{Área}=\int_2^3\left(x^2+x+4\right)dx$

Aplicamos la regla de Barrow:

$\int_2^3\left(x^2+x+4\right)dx=\left[\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+4x\right]_2^3$

$=\left(9+\dfrac{9}{2}+12\right)-\left(\dfrac{8}{3}+2+8\right)=\dfrac{51}{2}-\dfrac{38}{3}=\dfrac{77}{6}$

El área del recinto es $\dfrac{77}{6}\approx12{,}83$ unidades cuadradas.