Ejercicio resuelto de Análisis · Matemáticas CCSS · 2026

Apartado 2. Responda un problema de este apartado de los dos propuestos.

Problema 2. A. Tras un vertido químico accidental en un estanque, la concentración en partes por millón (ppm) de tóxico evoluciona durante las primeras 15 horas según la siguiente función, donde t representa el tiempo en horas:

$C(t) = \begin{cases} -t^2 + 8t + a & 0 \leq t \leq 6 \\[8pt] \dfrac{12t + 89}{t + 1} & 6 < t \leq 15 \end{cases}$

a) Halla el valor de $a$ sabiendo que $C(t)$ es una función continua en el intervalo $[0,15]$. (0,5 puntos)
b) Halla el instante en el que la concentración es máxima en el intervalo de tiempo $[0,6]$ y determina si el valor obtenido es el máximo absoluto durante las 15 horas. (1 punto)
c) Justifica si la concentración ha ido reduciéndose en todo momento en el tramo $]6,15]$. (0,5 puntos)
d) Se debe emitir una alerta siempre que la concentración supere las 20 ppm. Determina todos los intervalos de tiempo en los que la alerta debe estar activada. (1,5 puntos)

$\textbf{a) Halla el valor de } \boldsymbol{a}\textbf{ sabiendo que } \boldsymbol{C(t)}\textbf{ es una función continua en el intervalo } \boldsymbol{[0,15]}\textbf{. (0,5 puntos)}$

Cada uno de los dos tramos es continuo donde está definido: el primero es un polinomio y el segundo un cociente cuyo denominador $t+1$ no se anula en $]6,15]$. El único punto que hay que estudiar es $t=6$, donde cambia la expresión.

Para que la función sea continua ahí, los dos límites laterales y el valor de la función deben coincidir:

$\lim_{t\to6^-}C(t)=\lim_{t\to6^+}C(t)$

Calculamos cada uno:

$\lim_{t\to6^-}C(t)=-6^2+8\cdot6+a=12+a$

$\lim_{t\to6^+}C(t)=\dfrac{12\cdot6+89}{6+1}=\dfrac{161}{7}=23$

Igualando:

$12+a=23\Rightarrow a=11$

$\textbf{b) Halla el instante en el que la concentración es máxima en el intervalo de tiempo } \boldsymbol{[0,6]}\textbf{ y determina si el valor obtenido es el máximo absoluto durante las 15 horas. (1 punto)}$

En el intervalo $[0,6]$ la concentración es:

$C(t)=-t^2+8t+11$

Se trata de una parábola con el coeficiente de $t^2$ negativo, de modo que tiene un máximo en su vértice. Lo buscamos anulando la derivada:

$C'(t)=-2t+8=0\Rightarrow t=4$

La concentración en ese instante es:

$C(4)=-4^2+8\cdot4+11=-16+32+11=27\ \text{ppm}$

Para saber si es el máximo absoluto de las 15 horas hay que mirar también el segundo tramo. Allí:

$C'(t)=\dfrac{12(t+1)-(12t+89)}{(t+1)^2}=\dfrac{-77}{(t+1)^2}<0$

luego la concentración decrece en todo $]6,15]$ y su mayor valor está justo al empezar el tramo, donde vale 23 ppm.

Como $27>23$, el valor obtenido sí es el máximo absoluto: la concentración máxima durante las 15 horas es de 27 ppm y se alcanza a las 4 horas del vertido.

$\textbf{c) Justifica si la concentración ha ido reduciéndose en todo momento en el tramo } \boldsymbol{]6,15]}\textbf{. (0,5 puntos)}$

Basta con el signo de la derivada del segundo tramo, que ya hemos calculado:

$C'(t)=\dfrac{-77}{(t+1)^2}$

El numerador es negativo y el denominador es un cuadrado, positivo para todo $t\in\,]6,15]$, así que:

$C'(t)<0\quad \forall t\in\,]6,15]$

Por tanto, sí: la concentración decrece en todo el tramo, desde las 23 ppm del principio hasta

$C(15)=\dfrac{12\cdot15+89}{15+1}=\dfrac{269}{16}\approx16{,}81\ \text{ppm}$

$\textbf{d) Se debe emitir una alerta siempre que la concentración supere las 20 ppm. Determina todos los intervalos de tiempo en los que la alerta debe estar activada. (1,5 puntos)}$

Hay que resolver la inecuación $C(t)>20$ en cada uno de los dos tramos.

En el primer tramo, $0\leq t\leq6$:

$-t^2+8t+11>20\Rightarrow -t^2+8t-9>0\Rightarrow t^2-8t+9<0$

Buscamos las raíces del polinomio:

$t=\dfrac{8\pm\sqrt{64-36}}{2}=\dfrac{8\pm2\sqrt7}{2}=4\pm\sqrt7$

Como la parábola $t^2-8t+9$ se abre hacia arriba, es negativa entre sus raíces:

$4-\sqrt7\approx1{,}35\qquad\text{y}\qquad 4+\sqrt7\approx6{,}65$

La segunda raíz cae fuera del tramo, así que en $[0,6]$ la alerta está activada para $t\in\,]4-\sqrt7,\,6]$.

En el segundo tramo, $6<t\leq15$, el denominador es positivo y podemos multiplicar por él sin cambiar el sentido de la desigualdad:

$\dfrac{12t+89}{t+1}>20\Rightarrow 12t+89>20t+20\Rightarrow 69>8t\Rightarrow t<\dfrac{69}{8}=8{,}625$

Luego en este tramo la alerta está activada para $t\in\,]6,\ 8{,}625[$.

Los dos trozos se pegan en $t=6$, donde la concentración vale 23 ppm y la alerta sigue activa, de modo que forman un único intervalo:

$t\in\left]\,4-\sqrt7,\ \dfrac{69}{8}\,\right[\ \approx\ ]1{,}35,\ 8{,}625[$

La alerta debe estar activada desde poco después de la primera hora y cuarto hasta las 8 horas y 37 minutos y medio aproximadamente.