Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Apartado 1. Responda un problema de este apartado de los dos propuestos.

Problema 1. B. Una empresa de joyería tiene dos máquinas, $A$ y $B$, con las que puede hacer anillos, pulseras y collares. La empresa tiene que decidir el número de horas de trabajo de cada una de las máquinas para la próxima semana. En cada hora de trabajo, la máquina A realiza 2 anillos, 8 pulseras y 4 collares, mientras que la máquina B realiza 9 anillos, 4 pulseras y 10 collares. Durante la próxima semana la empresa debe producir al menos 80 anillos, 96 pulseras y 120 collares. El coste por cada hora de trabajo de la máquina A es 250 euros y el de la máquina B es 600 euros.

a) ¿Cuántas horas tiene que trabajar cada máquina para que el coste total de producción sea mínimo? (3 puntos)
b) ¿Cuál es dicho coste mínimo? (0,5 puntos)

$\textbf{a) ¿Cuántas horas tiene que trabajar cada máquina para que el coste total de producción sea mínimo? (3 puntos)}$

Definimos las incógnitas:

$x=$ horas de trabajo de la máquina $A$

$y=$ horas de trabajo de la máquina $B$

La función que queremos minimizar es el coste total de las dos máquinas:

$C(x,y)=250x+600y$

Como se deben producir al menos 80 anillos:

$2x+9y\geq80$

Como se deben producir al menos 96 pulseras:

$8x+4y\geq96$

Como se deben producir al menos 120 collares:

$4x+10y\geq120$

Además, el número de horas no puede ser negativo:

$x\geq0,\quad y\geq0$

Por tanto, el problema de programación lineal es:

$\begin{cases} \text{Minimizar } C(x,y)=250x+600y\\ 2x+9y\geq80\\ 8x+4y\geq96\\ 4x+10y\geq120\\ x\geq0,\ y\geq0 \end{cases}$

Dibujamos las tres rectas frontera y la región factible, que es la parte del primer cuadrante que queda por encima de las tres:



La región no está acotada por arriba, pero sí tiene vértices, y en uno de ellos se alcanza el mínimo. Los calculamos resolviendo los sistemas que forman las rectas dos a dos y los cortes con los ejes.

Corte de la recta de las pulseras con el eje $OY$:

$8\cdot0+4y=96\Rightarrow y=24\Rightarrow A(0,24)$

Corte de las rectas de las pulseras y de los collares:

$\begin{cases} 8x+4y=96\\ 4x+10y=120 \end{cases} \Rightarrow x=7{,}5,\quad y=9\Rightarrow B(7{,}5\,;\,9)$

Corte de las rectas de los collares y de los anillos:

$\begin{cases} 4x+10y=120\\ 2x+9y=80 \end{cases} \Rightarrow x=17{,}5,\quad y=5\Rightarrow C(17{,}5\,;\,5)$

Corte de la recta de los anillos con el eje $OX$:

$2x+9\cdot0=80\Rightarrow x=40\Rightarrow D(40,0)$

Conviene señalar que las rectas de los anillos y de las pulseras se cortan en $(8{,}5\,;\,7)$, pero ese punto no es vértice de la región factible porque no cumple la restricción de los collares:

$4\cdot8{,}5+10\cdot7=52<120$

Evaluamos la función de coste en los cuatro vértices:

Vértice	$C(x,y)=250x+600y$ $A(0,24)$	$250\cdot0+600\cdot24=14400$ $B(7{,}5\,;\,9)$	$250\cdot7{,}5+600\cdot9=7275$ $C(17{,}5\,;\,5)$	$250\cdot17{,}5+600\cdot5=7375$ $D(40,0)$	$250\cdot40+600\cdot0=10000$

El menor de los cuatro valores se alcanza en el vértice $B$, así que la máquina $A$ debe trabajar 7,5 horas y la máquina $B$, 9 horas.

$\textbf{b) ¿Cuál es dicho coste mínimo? (0,5 puntos)}$

Sustituimos el vértice $B$ en la función de coste:

$C(7{,}5\,;\,9)=250\cdot7{,}5+600\cdot9=1875+5400=7275$

El coste mínimo de producción es de $7275$ euros.