Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Apartado 1. Responda un problema de este apartado de los dos propuestos.

Problema 1. A. Alberto, Braulio y Carlos son amigos y viven en un pequeño pueblo, en tres casas distintas que podemos suponer situadas en línea recta alineadas con el Ayuntamiento del pueblo. Si tomamos como punto 0 este Ayuntamiento y A, B, C las posiciones en la recta de cada una de las casas de los amigos al Ayuntamiento sabemos que dichas posiciones suman 3000 y que $A<0<B<C$. Además, la distancia entre la casa de Alberto y la casa de Braulio es dos veces la distancia del Ayuntamiento a casa de Carlos. Finalmente, la distancia entre la casa de Alberto y la casa de Carlos es tres veces la distancia del Ayuntamiento a casa de Braulio. Determina las posiciones A, B y C de las casas. Recuerda que la distancia entre dos posiciones A y B con $A<B$ es $B-A$. (Planteamiento correcto 1,5 puntos --- Resolución correcta 2 puntos)

Llamamos $A$, $B$ y $C$ a las posiciones de las casas de Alberto, Braulio y Carlos sobre la recta, tomando el Ayuntamiento como origen.

Traducimos a ecuaciones los tres datos del enunciado. Las tres posiciones suman 3000:

$A+B+C=3000$

Como $A<0<B<C$, la distancia entre las casas de Alberto y Braulio es $B-A$, y la del Ayuntamiento a la casa de Carlos es $C$:

$B-A=2C$

Del mismo modo, la distancia entre las casas de Alberto y Carlos es $C-A$, y la del Ayuntamiento a la casa de Braulio es $B$:

$C-A=3B$

Reordenando los términos, el sistema que hay que resolver es:

$\begin{cases} A+B+C=3000\\ -A+B-2C=0\\ -A-3B+C=0 \end{cases}$

Despejamos $A$ en la segunda ecuación:

$A=B-2C$

y lo sustituimos en la tercera:

$-(B-2C)-3B+C=0\Rightarrow -4B+3C=0\Rightarrow C=\dfrac{4B}{3}$

Con ese valor de $C$:

$A=B-2\cdot\dfrac{4B}{3}=-\dfrac{5B}{3}$

Llevamos las dos expresiones a la primera ecuación:

$-\dfrac{5B}{3}+B+\dfrac{4B}{3}=3000\Rightarrow \dfrac{2B}{3}=3000\Rightarrow B=4500$

Y por tanto:

$A=-\dfrac{5\cdot4500}{3}=-7500,\qquad C=\dfrac{4\cdot4500}{3}=6000$

Comprobamos que la solución cumple todo lo que pide el enunciado: se ordena como $-7500<0<4500<6000$, la suma de las tres posiciones es $-7500+4500+6000=3000$, la distancia $B-A=12000$ es el doble de $C=6000$ y la distancia $C-A=13500$ es el triple de $B=4500$.

Las casas están situadas en las posiciones $A=-7500$, $B=4500$ y $C=6000$.