Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

8. Estadística y Probabilidad

a) Se hace un examen tipo test con 60 preguntas y 4 opciones por pregunta, de las que solo una es correcta. Calcule la probabilidad de acertar por lo menos 16 preguntas si se responden las 60 al azar.
b) Si $X$ sigue una distribución normal de media 25 y desviación típica 2, calcule $P(X < 24)$. Luego, calcule el valor de $\alpha > 0$ tal que $P(25 - \alpha < X < 25 + \alpha) = 0.2128$.

$\textbf{a) Se hace un examen tipo test con 60 preguntas y 4 opciones por pregunta, de las que solo una es correcta. Calcule la probabilidad de acertar por lo menos 16 preguntas si se responden las 60 al azar.}$

Sea $X$ el número de preguntas acertadas. Cada pregunta se acierta con probabilidad $\frac{1}{4}$, con independencia de las demás, y el número de pruebas es fijo.

$X\sim B(60;\,0{,}25)$

Calcular $P(X\ge 16)$ término a término exigiría sumar 45 sumandos, así que aproximamos la binomial por una normal, lo que es lícito porque

$np=60\cdot 0{,}25=15>5 \qquad nq=60\cdot 0{,}75=45>5$

$\mu=np=15 \qquad \sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{60\cdot 0{,}25\cdot 0{,}75}=\sqrt{11{,}25}=3{,}354$

$X\sim B(60;\,0{,}25)\ \longrightarrow\ X'\sim N(15;\,3{,}354)$

Al pasar de una variable discreta a una continua aplicamos la corrección de continuidad.

$P(X\ge 16)\approx P(X'\ge 15{,}5)=P\left(Z\ge\dfrac{15{,}5-15}{3{,}354}\right)=P(Z\ge 0{,}15)$

$P(Z\ge 0{,}15)=1-P(Z\le 0{,}15)=1-0{,}5596=0{,}4404$

La probabilidad de acertar al menos 16 preguntas respondiendo al azar es de 0,4404, cerca del 44 %.

$\textbf{b) Si } \boldsymbol{X}\textbf{ sigue una distribución normal de media 25 y desviación típica 2, calcule } \boldsymbol{P(X < 24)}\textbf{. Luego, calcule el valor de } \boldsymbol{\alpha > 0}\textbf{ tal que } \boldsymbol{P(25 - \alpha < X < 25 + \alpha) = 0{,}2128}\textbf{.}$

Del enunciado, $X\sim N(25,\,2)$. Tipificamos el primer valor.

$P(X<24)=P\left(Z<\dfrac{24-25}{2}\right)=P(Z<-0{,}5)$

Por la simetría de la campana respecto de la media:

$P(Z<-0{,}5)=1-P(Z\le 0{,}5)=1-0{,}6915=0{,}3085$



Para la segunda parte, el intervalo es simétrico respecto de la media, así que al tipificar queda centrado en el origen.

$P(25-\alpha<X<25+\alpha)=P\left(-\dfrac{\alpha}{2}<Z<\dfrac{\alpha}{2}\right)=2P\left(Z\le\dfrac{\alpha}{2}\right)-1$

$2P\left(Z\le\dfrac{\alpha}{2}\right)-1=0{,}2128 \Rightarrow P\left(Z\le\dfrac{\alpha}{2}\right)=\dfrac{1+0{,}2128}{2}=0{,}6064$

Buscando ese valor en la tabla, $P(Z\le 0{,}27)=0{,}6064$, de donde:

$\dfrac{\alpha}{2}=0{,}27 \Rightarrow \alpha=0{,}54$

La probabilidad de que $X$ sea menor que 24 es de 0,3085, y el valor pedido es $\alpha=0{,}54$.