Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2026

PREGUNTA 4: ANÁLISIS (2.5 puntos)

Responda al apartado 4.1 o al apartado 4.2

4.1 Un brote de gripe se propaga a lo largo de unos días. El coeficiente de gravedad de la gripe $t$ días después de iniciarse el brote viene dado por una función $F(t)$ cuya derivada es $F'(t) = t^2(10 - t)$. Se pide:

4.1.1 Calcular la función $F(t)$ sabiendo que en $t = 0$ el coeficiente de gravedad es 6. (1.25 puntos)
4.1.2 Calcular cuántos días después de iniciarse el brote se alcanza el valor máximo del coeficiente y cuál es dicho número. (1.25 puntos)

$\textbf{4.1.1 Calcular la función } \boldsymbol{F(t)}\textbf{ sabiendo que en } \boldsymbol{t=0}\textbf{ el coeficiente de gravedad es 6. (1,25 puntos)}$

La función $F$ es una primitiva de $F'$, así que la obtenemos integrando. Desarrollamos primero el producto:

$F'(t)=t^{2}(10-t)=10t^{2}-t^{3}$

$F(t)=\displaystyle\int\left(10t^{2}-t^{3}\right)dt=\dfrac{10t^{3}}{3}-\dfrac{t^{4}}{4}+K$

La constante de integración se determina con la condición del enunciado, $F(0)=6$:

$F(0)=K=6$

Por tanto:

$F(t)=\dfrac{10t^{3}}{3}-\dfrac{t^{4}}{4}+6$

$\textbf{4.1.2 Calcular cuántos días después de iniciarse el brote se alcanza el valor máximo del coeficiente y cuál es dicho número. (1,25 puntos)}$

Los extremos de $F$ están entre los puntos que anulan su derivada:

$F'(t)=t^{2}(10-t)=0\Rightarrow \begin{cases} t=0\\ t=10 \end{cases}$

Hacemos un estudio de signos de $F'$ en $t\geq0$, que es el intervalo con sentido en el problema. Como $t^{2}\geq0$, el signo lo marca el factor $10-t$:

$F'(t)>0 \text{ en } (0,10),\qquad F'(t)<0 \text{ en } (10,+\infty)$

Luego $F$ crece hasta $t=10$ y decrece a partir de ahí: en $t=10$ hay un máximo. En $t=0$ la derivada se anula pero no cambia de signo, así que ahí no hay extremo.

Calculamos el valor máximo:

$F(10)=\dfrac{10\cdot10^{3}}{3}-\dfrac{10^{4}}{4}+6=\dfrac{10000}{3}-2500+6=\dfrac{2518}{3}$

El coeficiente de gravedad de la gripe alcanza su valor máximo a los 10 días de iniciarse el brote, y ese valor es $\dfrac{2518}{3}\approx839{,}33$.