Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

PREGUNTA 3: GEOMETRÍA (2.5 puntos)

Responda al apartado 3.1 o al apartado 3.2

3.2 Dado el plano $\pi: 2x + 3y - z = 0$ y los puntos $A(0,0,0)$, $B(10,0,-20)$, $C(0,15,-30)$ y $D(1,2,-1)$, se pide:

3.2.1 Estudiar si el triángulo $ABC$ está contenido en el plano $\pi$. (0.5 puntos)
3.2.2 Calcular las coordenadas de la proyección del punto $D$ sobre el plano formado por los puntos $A, B$ y $C$. (1.25 puntos)
3.2.3 Calcular la distancia del punto $D$ al plano $\pi$. (0.75 puntos)

$\textbf{3.2.1 Estudiar si el triángulo } \boldsymbol{ABC}\textbf{ está contenido en el plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{. (0,5 puntos)}$

El triángulo está contenido en el plano si y solo si lo están sus tres vértices, así que basta sustituirlos en la ecuación $\pi:\ 2x+3y-z=0$:

$A(0,0,0):\quad 2\cdot0+3\cdot0-0=0$

$B(10,0,-20):\quad 2\cdot10+3\cdot0-(-20)=40\neq0$

$C(0,15,-30):\quad 2\cdot0+3\cdot15-(-30)=75\neq0$

Solo el vértice $A$ pertenece a $\pi$. Por tanto, el triángulo $ABC$ no está contenido en el plano $\pi$.

$\textbf{3.2.2 Calcular las coordenadas de la proyección del punto } \boldsymbol{D}\textbf{ sobre el plano formado por los puntos } \boldsymbol{A,B}\textbf{ y } \boldsymbol{C}\textbf{. (1,25 puntos)}$

Como acabamos de ver, el plano que determinan los tres puntos no es $\pi$, así que lo calculamos. Dos vectores directores son:

$\overrightarrow{AB}=(10,0,-20),\qquad \overrightarrow{AC}=(0,15,-30)$

Su producto vectorial da un vector normal:

$\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}= \begin{vmatrix} \hat i&\hat j&\hat k\\ 10&0&-20\\ 0&15&-30 \end{vmatrix} =(300,300,150)$

Podemos tomar el proporcional $(2,2,1)$. Como el plano pasa por $A(0,0,0)$:

$\sigma:\ 2x+2y+z=0$

La proyección de $D$ sobre $\sigma$ es el pie de la perpendicular trazada desde $D$. Escribimos esa recta, que pasa por $D$ y lleva la dirección de $\vec n$:

$\begin{cases} x=1+2t\\ y=2+2t\\ z=-1+t \end{cases},\quad t\in\mathbb{R}$

y la sustituimos en la ecuación del plano:

$2(1+2t)+2(2+2t)+(-1+t)=0\Rightarrow 9t+5=0\Rightarrow t=-\dfrac{5}{9}$

Llevando ese valor a la recta:

$D'=\left(1-\dfrac{10}{9},\ 2-\dfrac{10}{9},\ -1-\dfrac{5}{9}\right)=\left(-\dfrac{1}{9},\ \dfrac{8}{9},\ -\dfrac{14}{9}\right)$

Comprobamos que $D'$ está en el plano:

$2\left(-\dfrac{1}{9}\right)+2\cdot\dfrac{8}{9}+\left(-\dfrac{14}{9}\right)=0$

$\textbf{3.2.3 Calcular la distancia del punto } \boldsymbol{D}\textbf{ al plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{. (0,75 puntos)}$

Volvemos al plano $\pi:\ 2x+3y-z=0$ del enunciado y aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano:

$d(D,\pi)=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$

Sustituyendo el punto $D(1,2,-1)$:

$d(D,\pi)=\dfrac{|2\cdot1+3\cdot2-(-1)|}{\sqrt{2^{2}+3^{2}+(-1)^{2}}}=\dfrac{9}{\sqrt{14}}=\dfrac{9\sqrt{14}}{14}\approx2{,}4056$