Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

PREGUNTA 3: GEOMETRÍA (2.5 puntos)

Responda al apartado 3.1 o al apartado 3.2

3.1 Se consideran los puntos del espacio $A(0,-1,0)$ y $B(1,0,1)$, y el vector $v = (2,-1,1)$. Se pide:

3.1.1 Encontrar una ecuación del plano $\pi$ que es perpendicular a $v$ y pasa por $A$. (0.75 puntos)
3.1.2 Encontrar una ecuación de la recta que es perpendicular a $\pi$ y pasa por $B$. (0.75 puntos)
3.1.3 Encontrar el punto $C$ del plano $\pi$ que está más cerca de $B$. (0.75 puntos)
3.1.4 Calcular la distancia del punto $B$ al plano $\pi$. (0.25 puntos)

$\textbf{3.1.1 Encontrar una ecuación del plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ que es perpendicular a } \boldsymbol{v}\textbf{ y pasa por } \boldsymbol{A}\textbf{. (0,75 puntos)}$

Si el plano es perpendicular al vector $v$, ese vector es su vector normal:

$\vec n_\pi=\vec v=(2,-1,1)$

La ecuación de un plano que pasa por $P(x_0,y_0,z_0)$ y tiene vector normal $(A,B,C)$ es:

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

Sustituyendo el punto $A(0,-1,0)$:

$2(x-0)-(y+1)+(z-0)=0$

Por tanto:

$\pi:\ 2x-y+z-1=0$

$\textbf{3.1.2 Encontrar una ecuación de la recta que es perpendicular a } \boldsymbol{\pi}\textbf{ y pasa por } \boldsymbol{B}\textbf{. (0,75 puntos)}$

Una recta perpendicular a un plano tiene como vector director el vector normal de ese plano:

$\vec v_s=\vec n_\pi=(2,-1,1)$

Con el punto $B(1,0,1)$, la recta en forma paramétrica es:

$s: \begin{cases} x=1+2\lambda\\ y=-\lambda\\ z=1+\lambda \end{cases},\quad \lambda\in\mathbb{R}$

$\textbf{3.1.3 Encontrar el punto } \boldsymbol{C}\textbf{ del plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ que está más cerca de } \boldsymbol{B}\textbf{. (0,75 puntos)}$

El punto del plano más cercano a $B$ es el pie de la perpendicular trazada desde $B$, es decir, el punto en que la recta $s$ del apartado anterior corta al plano $\pi$.











Sustituimos las ecuaciones de la recta en la del plano:

$2(1+2\lambda)-(-\lambda)+(1+\lambda)-1=0$

$6\lambda+2=0\Rightarrow \lambda=-\dfrac{1}{3}$





Llevando ese valor a las ecuaciones de la recta:

$C=\left(1-\dfrac{2}{3},\ \dfrac{1}{3},\ 1-\dfrac{1}{3}\right)=\left(\dfrac{1}{3},\ \dfrac{1}{3},\ \dfrac{2}{3}\right)$

Comprobamos que pertenece al plano:

$2\cdot\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}-1=0$

$\textbf{3.1.4 Calcular la distancia del punto } \boldsymbol{B}\textbf{ al plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{. (0,25 puntos)}$

Usamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano:

$d(B,\pi)=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$

Sustituyendo $B(1,0,1)$ y la ecuación de $\pi$:

$d(B,\pi)=\dfrac{|2\cdot1-0+1-1|}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}}=\dfrac{2}{\sqrt6}=\dfrac{\sqrt6}{3}\approx0{,}8165$

El mismo valor se obtiene midiendo el segmento que une $B$ con el punto $C$ del apartado anterior:

$|\overrightarrow{BC}|=\left|\left(-\dfrac{2}{3},\ \dfrac{1}{3},\ -\dfrac{1}{3}\right)\right|=\dfrac{\sqrt6}{3}$