Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2022

EJERCICIO 4. Análisis.
Dada la función $f(x) = x^3 - ax^2 + 8x$

a) Calcule el valor del parámetro "$a$" teniendo en cuenta que la función $f(x)$ presenta un punto de inflexión en $x = 2$.
b) Para $a = 6$, calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función $f(x)$ y el eje OX.

$\textbf{a) Calcule el valor del parámetro "}\boldsymbol{a}\textbf{" teniendo en cuenta que la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ presenta un punto de inflexión en } \boldsymbol{x = 2}\textbf{.}$

En un punto de inflexión se anula la segunda derivada, así que derivamos dos veces.

$f(x) = x^3 - ax^2 + 8x \Rightarrow f'(x) = 3x^2 - 2ax + 8$

$f''(x) = 6x - 2a$

$f''(2) = 0 \Rightarrow 12 - 2a = 0 \Rightarrow a = 6$

El valor del parámetro es $a = 6$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{a = 6}\textbf{, calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ y el eje OX.}$

Los límites de integración son los cortes de la función con el eje de abscisas.

$f(x) = x^3 - 6x^2 + 8x = x(x^2 - 6x + 8) = x(x-2)(x-4)$

$f(x) = 0 \Rightarrow x = 0,\ x = 2,\ x = 4$

La función cambia de signo en las raíces intermedias, de modo que el recinto tiene dos lóbulos y hay que integrar por separado y tomar valores absolutos.

$\int_0^2 (x^3 - 6x^2 + 8x)\,dx = \left[\dfrac{x^4}{4} - 2x^3 + 4x^2\right]_0^2 = 4 - 16 + 16 = 4$

$\int_2^4 (x^3 - 6x^2 + 8x)\,dx = \left[\dfrac{x^4}{4} - 2x^3 + 4x^2\right]_2^4 = (64 - 128 + 64) - 4 = -4$



$\text{Área} = |4| + |-4| = 8$

El área del recinto limitado por la gráfica de $f(x)$ y el eje OX es de 8 unidades de área.