Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2022

EJERCICIO 3. Análisis.
En una zona protegida de un parque natural el número de aves N(t), en cientos, en función del tiempo t (años transcurridos desde que se contabilizan las aves) viene dado por la función $N(t) = \begin{cases} t^2 - 8t + 50 & \text{si } 0 \le t \le 10 \\ 95 - \dfrac{250}{t} & \text{si } t > 10 \end{cases}$

a) Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimientos de la función N(t)¿Entre que años crece la función?¿Entre que años decrece?
b) ¿Cuándo se alcanza el número mínimo de aves en el parque? ¿Cuántas aves hay en ese momento?
c) Calcule el intervalo de tiempo en el que la población de aves se mantiene entre 5000 y 7500 aves. ¿A qué valor tiende la población de aves con el paso del tiempo?

$\textbf{a) Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimientos de la función N(t). ¿Entre que años crece la función? ¿Entre que años decrece?}$

Derivamos cada trozo por separado y estudiamos el signo de la derivada.

$N'(t) = \begin{cases} 2t - 8 & 0 < t < 10 \\ \dfrac{250}{t^2} & t > 10 \end{cases}$

$2t - 8 = 0 \Rightarrow t = 4$

En el primer trozo la derivada es negativa antes de $t = 4$ y positiva después. En el segundo, $\frac{250}{t^2}$ es siempre positiva, así que la función sigue creciendo. En $t = 10$ solo cambia la expresión: los dos trozos valen ahí 70 centenas de aves.



La función decrece durante los cuatro primeros años y crece a partir del cuarto año.

$\textbf{b) ¿Cuándo se alcanza el número mínimo de aves en el parque? ¿Cuántas aves hay en ese momento?}$

El mínimo se alcanza donde la función pasa de decrecer a crecer, es decir, en $t = 4$.

$N(4) = 4^2 - 8 \cdot 4 + 50 = 16 - 32 + 50 = 34$

El número mínimo de aves se alcanza a los 4 años y es de 3400 aves, ya que la función viene dada en cientos.

$\textbf{c) Calcule el intervalo de tiempo en el que la población de aves se mantiene entre 5000 y 7500 aves. ¿A qué valor tiende la población de aves con el paso del tiempo?}$

En cientos de aves, se trata de resolver $50 \le N(t) \le 75$. Buscamos en cada trozo los instantes en que la función toma esos valores.

En el primer trozo:

$t^2 - 8t + 50 = 50 \Rightarrow t^2 - 8t = 0 \Rightarrow t(t-8) = 0 \Rightarrow t = 0 \text{ y } t = 8$

$t^2 - 8t + 50 = 75 \Rightarrow t^2 - 8t - 25 = 0 \Rightarrow t = 4 \pm \sqrt{41}$

La única raíz positiva, $4 + \sqrt{41} \approx 10{,}40$, cae fuera del primer trozo, y en $t = 10$ la función vale 70, todavía por debajo de 75.

En el segundo trozo:

$95 - \dfrac{250}{t} = 75 \Rightarrow \dfrac{250}{t} = 20 \Rightarrow t = 12{,}5$

Como en el primer trozo la función baja de 50 nada más empezar y no vuelve a ese valor hasta $t = 8$, y desde ahí crece sin parar hasta llegar a 75 en $t = 12{,}5$:

La población de aves se mantiene entre 5000 y 7500 durante el intervalo $[8\,;\,12{,}5]$ años, además del instante inicial $t = 0$, en el que había exactamente 5000 aves.

Para el comportamiento a largo plazo calculamos el límite en el infinito.

$\lim_{t\to+\infty}\left(95 - \dfrac{250}{t}\right) = 95 - 0 = 95$

Con el paso del tiempo la población tiende a estabilizarse en 9500 aves, sin llegar nunca a alcanzarlas.