Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

EJERCICIO 4. Análisis.
Dada la función $f(x) = \begin{cases} -x^2 + 1 & \text{si } x \le 1 \\ 2x - a & \text{si } x > 1 \end{cases}$

a) Calcule el valor de parámetro $a$ para que la función f(x) sea continua en todo R.
b) Para $a$=2 calcule los extremos relativos de la función f(x) y represéntela.
c) Calcule el área le la región delimitada por la función f(x), para $a$=2, y las rectas Y=0, X=0 y X=2.

$\textbf{a) Calcule el valor de parámetro } \boldsymbol{a}\textbf{ para que la función f(x) sea continua en todo R.}$

Cada trozo es un polinomio, continuo en todo su dominio, así que el único punto conflictivo es $x = 1$, donde cambia la expresión. Para que haya continuidad los dos límites laterales deben coincidir con el valor de la función.

$\lim_{x\to 1^-} f(x) = -1^2 + 1 = 0$

$\lim_{x\to 1^+} f(x) = 2 \cdot 1 - a = 2 - a$

$0 = 2 - a \Rightarrow a = 2$

Para $a = 2$ la función es continua en todo $\mathbb{R}$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{a}\textbf{=2 calcule los extremos relativos de la función f(x) y represéntela.}$

Derivamos cada trozo por separado.

$f'(x) = \begin{cases} -2x & x < 1 \\ 2 & x > 1 \end{cases}$

En el primer trozo, $-2x = 0 \Rightarrow x = 0$; la derivada es positiva antes de 0 y negativa después, así que hay un máximo relativo.

$f(0) = -0 + 1 = 1$

En el segundo trozo la derivada vale 2, siempre positiva, de modo que la función crece.

En $x = 1$ la función pasa de decrecer a crecer, luego hay un mínimo relativo, aunque la función no sea derivable ahí.

$f(1) = -1 + 1 = 0$



La función presenta un máximo relativo en $(0,1)$ y un mínimo relativo en $(1,0)$.

$\textbf{c) Calcule el área le la región delimitada por la función f(x), para } \boldsymbol{a}\textbf{=2, y las rectas Y=0, X=0 y X=2.}$

Entre $x = 0$ y $x = 2$ la función es no negativa, así que el área coincide con la integral definida, que hay que partir en $x = 1$ porque ahí cambia la expresión.

$\text{Área} = \int_0^1 (-x^2+1)\,dx + \int_1^2 (2x-2)\,dx$

$\int_0^1 (-x^2+1)\,dx = \left[-\dfrac{x^3}{3} + x\right]_0^1 = -\dfrac{1}{3} + 1 = \dfrac{2}{3}$

$\int_1^2 (2x-2)\,dx = \left[x^2 - 2x\right]_1^2 = (4-4) - (1-2) = 1$

$\text{Área} = \dfrac{2}{3} + 1 = \dfrac{5}{3}$



El área de la región delimitada es de $\frac{5}{3} \approx 1{,}67$ unidades de área.