Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2022

EJERCICIO 3. Análisis.
Los costes de una empresa, en cientos de miles de euros, vienen dados por la función:
$C(t) = t^3 - \dfrac{21}{2}t^2 + 30t - 12\ , \quad t \text{ es el tiempo en años y } 1 \le t \le 6$

a) Calcule los costes máximos alcanzados. ¿En qué momento se producen?
b) Estudie el crecimiento y decrecimiento de los costes. Determine el coste mínimo y en qué momento se alcanza.
c) ¿Cuáles son los costes al inicio y al final del periodo en estudio?

$\textbf{a) Calcule los costes máximos alcanzados. ¿En qué momento se producen?}$

Derivamos la función de costes y buscamos sus puntos críticos.

$C'(t) = 3t^2 - 21t + 30 = 3(t^2 - 7t + 10) = 3(t-2)(t-5)$

$C'(t) = 0 \Rightarrow t = 2 \text{ y } t = 5$

El máximo absoluto en el intervalo cerrado $[1,6]$ se busca entre esos puntos y los extremos del intervalo.

$C(1) = 1 - \dfrac{21}{2} + 30 - 12 = 8{,}5$

$C(2) = 8 - 42 + 60 - 12 = 14$

$C(5) = 125 - \dfrac{525}{2} + 150 - 12 = 0{,}5$

$C(6) = 216 - 378 + 180 - 12 = 6$

Los costes máximos alcanzados son de 14 cientos de miles de euros, es decir, 1.400.000 euros, y se producen a los 2 años.

$\textbf{b) Estudie el crecimiento y decrecimiento de los costes. Determine el coste mínimo y en qué momento se alcanza.}$

Estudiamos el signo de la derivada tomando un valor de prueba en cada tramo.

$\begin{cases} C'(1{,}5) = 3(-0{,}5)(-3{,}5) = 5{,}25 > 0 \\ C'(3) = 3(1)(-2) = -6 < 0 \\ C'(5{,}5) = 3(3{,}5)(0{,}5) = 5{,}25 > 0 \end{cases}$



Los costes crecen en $(1,2)$, decrecen en $(2,5)$ y vuelven a crecer en $(5,6)$.

Comparando los valores calculados en el apartado anterior, el menor de todos es $C(5) = 0{,}5$.

El coste mínimo es de 0,5 cientos de miles de euros, es decir, 50.000 euros, y se alcanza a los 5 años.

$\textbf{c) ¿Cuáles son los costes al inicio y al final del periodo en estudio?}$

Basta con evaluar la función en los extremos del intervalo, cálculo ya realizado antes.

$C(1) = 8{,}5 \qquad C(6) = 6$

Al inicio del periodo los costes eran de 850.000 euros y al final de 600.000 euros.