Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Cataluña · 2025

El isótopo del yodo 131 ($Z = 53$) se emplea en radioterapia para tratar determinadas enfermedades de la tiroides, especialmente el hipertiroidismo y el cáncer de tiroides. Este isótopo se desintegra y da lugar al xenón 131 estable ($Z = 54$).

a) Escriba la reacción de desintegración de este isótopo. Complete la reacción nuclear con todas las partículas que intervienen en la reacción y justifique la respuesta. ¿De qué tipo de desintegración se trata? [1,25 puntos]

b) Si a un paciente se le suministra una pastilla de I-131 con una actividad de $40{,}0\cdot10^{6}\ \text{Bq}$, ¿qué masa de yodo 131 contiene esta pastilla? ¿Qué actividad tendrá el I-131 al cabo de una semana? Represente en una gráfica la evolución de la actividad durante esta semana en función del tiempo en días. La curva debe tener como mínimo tres puntos calculados. [1,25 puntos]

Datos: número de Avogadro, $N_A = 6{,}022\cdot10^{23}$; $m(^{131}\text{I}) = 131\ \text{g/mol}$; el periodo de semidesintegración del yodo 131 es de 8,02 días.

$\textbf{a) Escriba la reacción de desintegración de este isótopo. Complete la reacción nuclear con todas las partículas que intervienen en la reacción y justifique la respuesta. ¿De qué tipo de desintegración se trata? (1,25 puntos)}$

Comparando los dos núcleos se ve qué ha cambiado: el número másico se mantiene en $131$ y el número atómico sube de $53$ a $54$.

$^{131}_{53}\text{I}\rightarrow{}^{131}_{54}\text{Xe}+\ ?$

Un núcleo gana un protón sin cambiar de número másico cuando uno de sus neutrones se transforma en protón. Para que se conserve la carga eléctrica hace falta que salga una partícula de carga $-1$ y número másico $0$, es decir, un electrón; y el balance de energía y de momento angular exige, además, un antineutrino electrónico.

$^{131}_{53}\text{I}\rightarrow{}^{131}_{54}\text{Xe}+{}^{0}_{-1}e+\bar{\nu}_e$

Se comprueba que los números másicos cuadran, $131=131+0$, y también los atómicos, $53=54-1$.

Se trata de una desintegración $\beta^{-}$, propia de los núcleos con exceso de neutrones como este isótopo del yodo.

$\textbf{b) ¿Qué masa de yodo 131 contiene esta pastilla? ¿Qué actividad tendrá el I-131 al cabo de una semana? Represente en una gráfica la evolución de la actividad durante esta semana en función del tiempo en días. (1,25 puntos)}$

La actividad es proporcional al número de núcleos presentes, con la constante de desintegración como factor:

$A=\lambda N \qquad \lambda=\dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}=\dfrac{0{,}693}{8{,}02\cdot86\,400}=1{,}00\cdot10^{-6}\ \text{s}^{-1}$

$N=\dfrac{A}{\lambda}=\dfrac{40{,}0\cdot10^{6}}{1{,}00\cdot10^{-6}}=4{,}00\cdot10^{13}\ \text{núcleos}$

Ese número de núcleos se pasa a masa con el número de Avogadro y la masa molar:

$m=\dfrac{N}{N_A}\cdot M=\dfrac{4{,}00\cdot10^{13}}{6{,}022\cdot10^{23}}\cdot131$

$m=8{,}70\cdot10^{-9}\ \text{g}=8{,}70\ \text{ng}$

Para la actividad al cabo de una semana basta aplicar la ley de desintegración contando el tiempo en días, que es como viene dado el periodo:

$A=A_0\left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}=40{,}0\cdot10^{6}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{7{,}00/8{,}02}$

$A=40{,}0\cdot10^{6}\cdot0{,}546=2{,}18\cdot10^{7}\ \text{Bq}$

Repitiendo el cálculo para algunos días intermedios se obtienen los puntos de la curva:

Tiempo (días)	0	2	4	6	7 Actividad (Bq)	$4{,}00\cdot10^{7}$	$3{,}37\cdot10^{7}$	$2{,}83\cdot10^{7}$	$2{,}38\cdot10^{7}$	$2{,}18\cdot10^{7}$

La pastilla contiene $8{,}70$ nanogramos de yodo 131 —una cantidad diminuta, porque la actividad específica del isótopo es enorme— y al cabo de una semana su actividad ha bajado a $2{,}18\cdot10^{7}$ Bq, algo más de la mitad de la inicial: la semana se queda justo por debajo del periodo de semidesintegración, que es de $8{,}02$ días.