Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Cataluña · 2025

$\textbf{Opción B}$

Alaitz se encuentra en lo alto de un trampolín situado justo encima del borde de la piscina y está a punto de lanzarse. En este momento observa un objeto en el fondo de la piscina con un ángulo de 40,0° respecto a la vertical. La altura del trampolín es de 0,90 metros respecto a la superficie del agua, la profundidad de la piscina es de 2,00 metros y los ojos de Alaitz se encuentran a 1,60 metros respecto al trampolín.



a) Calcule a qué distancia $x$ se encuentra el objeto respecto al borde de la piscina. [1,25 puntos]

b) El objeto sumergido es un puntero láser encendido y dirigido hacia arriba con cierta inclinación. ¿A partir de qué ángulo de inclinación respecto a la vertical el rayo del láser no saldrá de la piscina? ¿A qué velocidad se propagará el haz láser dentro de la piscina? Si sabemos que la luz que emite el láser tiene una longitud de onda de 632,8 nm en el aire, ¿cuál es la frecuencia y la longitud de onda del haz láser dentro de la piscina? [1,25 puntos]

Datos: $c = 3{,}00\cdot10^{8}\ \text{m s}^{-1}$; $n_{\text{aire}} = 1{,}00$; $n_{\text{agua}} = 1{,}33$.

$\textbf{Opción B. a) Calcule a qué distancia }\boldsymbol{x}\textbf{ se encuentra el objeto respecto al borde de la piscina. (1,25 puntos)}$

El rayo que llega a los ojos de Alaitz sale del objeto, se refracta al pasar del agua al aire y recorre después el tramo aéreo con la inclinación de $40{,}0^\circ$ que indica el enunciado. Como el trampolín está justo encima del borde de la piscina, la vertical que pasa por los ojos corta la superficie del agua en ese borde, y la distancia pedida es la suma de los dos avances horizontales.

Los ojos están a

$h=0{,}90+1{,}60=2{,}50\ \text{m}$

sobre la superficie del agua. En el tramo aéreo el ángulo se mide con la vertical, que aquí es la normal a la superficie:

$x_1=h\tan40{,}0^\circ=2{,}50\cdot0{,}8391=2{,}10\ \text{m}$

En la superficie se aplica la ley de Snell para obtener el ángulo dentro del agua:

$n_{\text{aire}}\operatorname{sen}40{,}0^\circ=n_{\text{agua}}\operatorname{sen}\hat r$

$\operatorname{sen}\hat r=\dfrac{1{,}00\cdot0{,}6428}{1{,}33}=0{,}4833 \Rightarrow \hat r=28{,}9^\circ$

El rayo se acerca a la normal, como corresponde al pasar a un medio más refringente. El avance horizontal bajo el agua es entonces

$x_2=2{,}00\cdot\tan28{,}9^\circ=2{,}00\cdot0{,}5521=1{,}10\ \text{m}$

$x=x_1+x_2=2{,}10+1{,}10=3{,}20\ \text{m}$

El objeto se encuentra a $3{,}20$ m del borde de la piscina. Si no hubiera refracción, Alaitz lo situaría a $2{,}50\cdot\tan40^\circ+2{,}00\cdot\tan40^\circ=3{,}78$ m: el agua hace que los objetos sumergidos parezcan más alejados del punto donde realmente están.

$\textbf{b) ¿A partir de qué ángulo de inclinación respecto a la vertical el rayo del láser no saldrá de la piscina? ¿A qué velocidad se propagará el haz láser dentro de la piscina? Si la luz que emite el láser tiene una longitud de onda de 632,8 nm en el aire, ¿cuál es la frecuencia y la longitud de onda del haz láser dentro de la piscina? (1,25 puntos)}$

El haz va del agua al aire, es decir, de un medio más refringente a otro menos refringente, así que puede haber reflexión total. El ángulo límite es aquel para el que el rayo refractado sale rasante:

$\operatorname{sen}\theta_L=\dfrac{n_{\text{aire}}}{n_{\text{agua}}}=\dfrac{1{,}00}{1{,}33}=0{,}7519$

$\theta_L=48{,}8^\circ$

La velocidad de propagación dentro del agua sale directamente de la definición de índice de refracción:

$v=\dfrac{c}{n_{\text{agua}}}=\dfrac{3{,}00\cdot10^{8}}{1{,}33}=2{,}26\cdot10^{8}\ \text{m s}^{-1}$

La frecuencia la fija la fuente y no cambia al pasar de un medio a otro; se calcula, por tanto, con los datos del aire:

$f=\dfrac{c}{\lambda_{\text{aire}}}=\dfrac{3{,}00\cdot10^{8}}{632{,}8\cdot10^{-9}}=4{,}74\cdot10^{14}\ \text{Hz}$

Y como la frecuencia se mantiene, la longitud de onda dentro del agua se reduce en la misma proporción que la velocidad:

$\lambda_{\text{agua}}=\dfrac{v}{f}=\dfrac{\lambda_{\text{aire}}}{n_{\text{agua}}}=\dfrac{632{,}8}{1{,}33}=476\ \text{nm}$

A partir de $48{,}8^\circ$ respecto de la vertical el rayo del láser ya no sale de la piscina y se refleja totalmente hacia dentro. Dentro del agua el haz viaja a $2{,}26\cdot10^{8}$ m/s, con una frecuencia de $4{,}74\cdot10^{14}$ Hz —la misma que en el aire— y una longitud de onda de $476$ nm.