Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2025

$\textbf{Opción A}$

En el taller del instituto diseñamos un péndulo con un soporte y un peso que cuelga de un hilo de longitud $L$ y de masa despreciable. Cuando tomamos medidas del periodo $T$ de este péndulo en función de la longitud del hilo, obtenemos los datos siguientes:

$\textit{Longitud } L\ \textit{(m)}$	0,20	0,30	0,50	0,80	1,20 $\textit{Periodo } T\ \textit{(s)}$	0,90	1,08	1,43	1,75	2,20 $T^2\ \textit{(s}^2\textit{)}$

a) Rellene la tercera fila de la tabla anterior con los valores del periodo al cuadrado. Represente $T^2(L)$ en una gráfica y justifique por qué los puntos están alineados. Calcule la pendiente de este gráfico. A partir del resultado, calcule también la intensidad del campo gravitatorio. [1,25 puntos]

b) Dejamos caer el péndulo de 1,50 kg de masa desde un ángulo de 30° respecto a la vertical y consideramos despreciable el rozamiento con el aire. Teniendo en cuenta que la longitud del péndulo es de 1,00 m, calcule las energías potencial y cinética máximas y la energía mecánica del péndulo, así como la velocidad máxima que alcanzará. Tome como referencia de energía potencial cero la posición de equilibrio. [1,25 puntos]

Dato: el péndulo describe un movimiento armónico simple de periodo $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}$.

$\textbf{Opción A. a) Rellene la tercera fila de la tabla anterior con los valores del periodo al cuadrado. Represente }\boldsymbol{T^2(L)}\textbf{ en una gráfica y justifique por qué los puntos están alineados. Calcule la pendiente de este gráfico. A partir del resultado, calcule también la intensidad del campo gravitatorio. (1,25 puntos)}$

Elevando al cuadrado cada periodo medido se completa la tabla:

Longitud L (m)	0,20	0,30	0,50	0,80	1,20 Periodo T (s)	0,90	1,08	1,43	1,75	2,20 T² (s²)	0,81	1,17	2,04	3,06	4,84

Que los puntos salgan alineados no es casualidad: elevando al cuadrado la expresión del periodo del péndulo desaparece la raíz y queda una relación de proporcionalidad directa entre $T^2$ y $L$.

$T=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}} \Rightarrow T^2=\dfrac{4\pi^2}{g}\,L$

Es la ecuación de una recta que pasa por el origen y cuya pendiente es $\dfrac{4\pi^2}{g}$, una constante.



La pendiente se calcula con los dos puntos más separados, que son los que menos afecta el error de medida:

$\text{pendiente}=\dfrac{4{,}84-0{,}81}{1{,}20-0{,}20}=\dfrac{4{,}03}{1{,}00}=4{,}03\ \text{s}^2\text{ m}^{-1}$

$\dfrac{4\pi^2}{g}=4{,}03 \Rightarrow g=\dfrac{4\pi^2}{4{,}03}$

$g=9{,}80\ \text{m s}^{-2}$

Los puntos están alineados porque $T^2$ es proporcional a $L$; la pendiente de la recta vale $4{,}03$ s²/m y de ella se deduce una intensidad del campo gravitatorio de $9{,}80$ m/s², prácticamente el valor tabulado.

$\textbf{b) Calcule las energías potencial y cinética máximas y la energía mecánica del péndulo, así como la velocidad máxima que alcanzará. (1,25 puntos)}$

La energía potencial es máxima en el punto de suelta, donde el péndulo está quieto. Con la referencia en la posición de equilibrio, la altura ganada es la diferencia entre la longitud del hilo y su proyección vertical.

$h=L-L\cos\alpha=L\left(1-\cos\alpha\right)=1{,}00\left(1-\cos30^\circ\right)$

$h=1{,}00\left(1-0{,}866\right)=0{,}134\ \text{m}$

$E_{p,\max}=m\,g\,h=1{,}50\cdot9{,}8\cdot0{,}134=1{,}97\ \text{J}$

En ese punto la velocidad es nula, de modo que toda la energía mecánica es potencial:

$E_m=E_{p,\max}=1{,}97\ \text{J}$

Como se desprecia el rozamiento con el aire, la energía mecánica se conserva. Al pasar por la posición de equilibrio la energía potencial vale cero y toda la mecánica se ha convertido en cinética:

$E_{c,\max}=E_m=1{,}97\ \text{J}$

$v_{\max}=\sqrt{\dfrac{2E_{c,\max}}{m}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot1{,}9694}{1{,}50}}=1{,}62\ \text{m s}^{-1}$

La energía potencial máxima y la cinética máxima valen las dos $1{,}97$ J, igual que la energía mecánica del péndulo, y la velocidad máxima, que se alcanza al pasar por la vertical, es de $1{,}62$ m/s.