Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Cataluña · 2025

El isótopo del sodio $^{24}_{11}\text{Na}$ tiene un exceso de neutrones y sabemos que es un emisor beta.

a) Razone si el sodio 24 será una fuente de emisión de electrones o de positrones. Escriba la reacción de la desintegración beta del $^{24}_{11}\text{Na}$ sin olvidar los neutrinos o antineutrinos. ¿Cuál es el otro núcleo resultante? [1,25 puntos]

b) El isótopo del sodio 24 tiene un periodo de semidesintegración de 15,0 h. Una disolución salina con átomos de sodio 24 tiene una actividad inicial de 580 kBq. Esta disolución se inyecta a un paciente y se disuelve por toda su sangre. Encuentre la actividad de la disolución inyectada al cabo de 10,0 h. Si al cabo de este tiempo en 1,00 mL de sangre hay una actividad de 60,0 Bq, ¿cuál es el volumen de sangre del paciente? [1,25 puntos]

Datos:

$\textit{Elemento}$	F	Ne	Na	Mg	Al $Z$	9	10	11	12	13

$\textbf{a) Razone si el sodio 24 será una fuente de emisión de electrones o de positrones. Escriba la reacción de la desintegración beta del sodio 24 sin olvidar los neutrinos o antineutrinos. ¿Cuál es el otro núcleo resultante? (1,25 puntos)}$

Un núcleo con exceso de neutrones se estabiliza convirtiendo uno de ellos en un protón. En ese proceso, para que se conserve la carga, sale despedida una partícula negativa —un electrón— y, para que se conserven el momento angular y la energía, un antineutrino electrónico.

$^{1}_{0}n\rightarrow{}^{1}_{1}p+{}^{0}_{-1}e+\bar{\nu}_e$

Se trata, por tanto, de una emisión $\beta^{-}$, es decir, de electrones. La emisión de positrones, $\beta^{+}$, la presentan los núcleos con exceso de protones, que es justo el caso contrario.

El número másico no cambia y el número atómico sube una unidad, de $Z=11$ a $Z=12$; en la tabla del enunciado ese elemento es el magnesio.

$^{24}_{11}\text{Na}\rightarrow{}^{24}_{12}\text{Mg}+{}^{0}_{-1}e+\bar{\nu}_e$

El sodio 24 es un emisor de electrones y el núcleo resultante es el magnesio 24.

$\textbf{b) Encuentre la actividad de la disolución inyectada al cabo de 10,0 h. Si al cabo de este tiempo en 1,00 mL de sangre hay una actividad de 60,0 Bq, ¿cuál es el volumen de sangre del paciente? (1,25 puntos)}$

La actividad decae con la misma ley exponencial que el número de núcleos, así que basta contar cuántos periodos de semidesintegración han pasado.

$A=A_0\left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}=580\left(\dfrac{1}{2}\right)^{10{,}0/15{,}0}$

$A=580\cdot0{,}630=365\ \text{kBq}$

Al inyectarla, la disolución se reparte por toda la sangre del paciente, de modo que la actividad total sigue siendo la misma pero se diluye en el volumen sanguíneo. Basta entonces dividir la actividad total entre la actividad por mililitro.

$V=\dfrac{A}{A_{\text{mL}}}=\dfrac{365\,377\ \text{Bq}}{60{,}0\ \text{Bq mL}^{-1}}$

$V=6{,}09\cdot10^{3}\ \text{mL}=6{,}09\ \text{L}$

Al cabo de diez horas la actividad de la disolución inyectada es de $365$ kBq, y el volumen de sangre del paciente resulta ser de unos $6{,}09$ litros, un valor perfectamente normal en un adulto. Este es, de hecho, el fundamento de la técnica de dilución isotópica.