Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Cataluña · 2026

Los rayos X se generan mediante un tubo en el que se ha hecho el vacío y que contiene dos placas de tungsteno. La placa negativa (cátodo) se calienta y emite electrones, los cuales son acelerados hacia la placa positiva (ánodo). Al chocar contra esta otra placa, los electrones se detienen bruscamente y se generan los rayos X.



a) La diferencia de potencial entre dos placas de un tubo de rayos X es de 70,0 kV y la separación entre ellas es de 2,00 cm. Calcule el módulo del campo eléctrico (suponga que es constante y uniforme entre las placas) y, a continuación, el módulo de la fuerza eléctrica que experimenta un electrón dentro del tubo. En la figura adjunta, represente el campo eléctrico entre placas y la fuerza eléctrica que actúa sobre el electrón. [1,25 puntos]

b) Determine la energía cinética y la velocidad de un electrón cuando llega al ánodo, suponiendo que parte del reposo desde el cátodo. A continuación, sabiendo que en el choque con el ánodo el electrón pierde parte de su energía, que se transforma en un fotón de rayos X con una longitud de onda de 1,00 nm, calcule la energía de este fotón y la nueva velocidad del electrón después de la emisión. [1,25 puntos]

Nota: desprecie los efectos del campo magnético terrestre y los efectos relativistas.

Datos: $|e| = 1{,}602\cdot10^{-19}\ \text{C}$; $m_e = 9{,}11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$; $c = 3{,}00\cdot10^{8}\ \text{m s}^{-1}$; $h = 6{,}63\cdot10^{-34}\ \text{J s}$.

$\textbf{a) Calcule el módulo del campo eléctrico (suponga que es constante y uniforme entre las placas) y, a continuación, el módulo de la fuerza eléctrica que experimenta un electrón dentro del tubo. En la figura adjunta, represente el campo eléctrico entre placas y la fuerza eléctrica que actúa sobre el electrón. (1,25 puntos)}$

Entre dos placas planas y paralelas el campo es uniforme, y su módulo es la diferencia de potencial dividida por la separación.

$E=\dfrac{\Delta V}{d}=\dfrac{70{,}0\cdot10^{3}}{2{,}00\cdot10^{-2}}$

$E=3{,}50\cdot10^{6}\ \text{N C}^{-1}$

La fuerza sobre una carga en un campo eléctrico es $\vec F=q\vec E$; en módulo, con la carga del electrón:

$F=|e|\,E=1{,}602\cdot10^{-19}\cdot3{,}50\cdot10^{6}$

$F=5{,}61\cdot10^{-13}\ \text{N}$

El campo eléctrico va siempre de la placa positiva a la negativa, es decir, del ánodo al cátodo. Como la carga del electrón es negativa, la fuerza que experimenta es antiparalela al campo y lo empuja del cátodo hacia el ánodo, que es justo lo que hace falta para acelerarlo.



El campo eléctrico entre las placas vale $3{,}50\cdot10^{6}$ N/C y la fuerza sobre el electrón, $5{,}61\cdot10^{-13}$ N, dirigida hacia el ánodo.

$\textbf{b) Determine la energía cinética y la velocidad de un electrón cuando llega al ánodo, suponiendo que parte del reposo desde el cátodo. A continuación, calcule la energía del fotón de rayos X de 1,00 nm de longitud de onda y la nueva velocidad del electrón después de la emisión. (1,25 puntos)}$

El trabajo de la fuerza eléctrica se invierte íntegramente en energía cinética, porque el electrón parte del reposo y no hay otras fuerzas.

$E_c=|e|\,\Delta V=1{,}602\cdot10^{-19}\cdot70{,}0\cdot10^{3}$

$E_c=1{,}12\cdot10^{-14}\ \text{J}$

$E_c=\dfrac{1}{2}m_ev^2 \Rightarrow v=\sqrt{\dfrac{2E_c}{m_e}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot1{,}12\cdot10^{-14}}{9{,}11\cdot10^{-31}}}$

$v=1{,}57\cdot10^{8}\ \text{m s}^{-1}$

La energía del fotón emitido se obtiene de la relación de Planck, escribiendo la frecuencia en función de la longitud de onda:

$E_{\text{fotón}}=h\nu=\dfrac{hc}{\lambda}=\dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3{,}00\cdot10^{8}}{1{,}00\cdot10^{-9}}$

$E_{\text{fotón}}=1{,}99\cdot10^{-16}\ \text{J}$

Esa energía sale de la energía cinética del electrón, así que la que le queda después del choque es la diferencia:

$E_c'=1{,}1214\cdot10^{-14}-1{,}989\cdot10^{-16}=1{,}1015\cdot10^{-14}\ \text{J}$

$v'=\sqrt{\dfrac{2\cdot1{,}1015\cdot10^{-14}}{9{,}11\cdot10^{-31}}}=1{,}56\cdot10^{8}\ \text{m s}^{-1}$

El electrón llega al ánodo con una energía cinética de $1{,}12\cdot10^{-14}$ J y una velocidad de $1{,}57\cdot10^{8}$ m/s. El fotón de rayos X se lleva $1{,}99\cdot10^{-16}$ J, apenas un $1{,}8\%$ de esa energía, y por eso la velocidad del electrón baja solo hasta $1{,}56\cdot10^{8}$ m/s.