Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2026

$\textbf{Opción B}$

Edmond Halley (1656-1742) estudió los registros históricos de observaciones de cometas de los siglos XVI y XVII, y concluyó que varias de estas observaciones correspondían al mismo objeto. Se trataba de un cometa periódico grande y brillante que orbitaba alrededor del Sol y que había sido observado por última vez en el año 1682. Actualmente este cometa se conoce como el cometa Halley.

a) Haga un dibujo esquemático de la órbita elíptica del cometa Halley, indicando el perihelio y el afelio. Calcule el semieje mayor de la elipse y el periodo orbital del cometa. Razone si Edmond Halley pudo observar más de una vez el cometa que lleva su nombre. [1,25 puntos]

b) Razone en qué punto de la órbita el cometa alcanza la velocidad máxima. A partir de los datos que se facilitan, calcule la velocidad del cometa Halley cuando pasa por el perihelio de la órbita, indicando claramente los principios físicos que ha empleado. [1,25 puntos]

Datos: $G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N m}^2\text{ kg}^{-2}$; masa del Sol, $M_S = 1{,}99\cdot10^{30}\ \text{kg}$; distancia del perihelio al centro del Sol, $r_P = 0{,}575\ \text{ua}$; velocidad en el afelio, $v_A = 896\ \text{m s}^{-1}$; distancia del afelio al centro del Sol, $r_A = 35{,}3\ \text{ua}$; $1\ \text{ua} = 1{,}50\cdot10^{11}\ \text{m}$.

$\textbf{Opción B. a) Haga un dibujo esquemático de la órbita elíptica del cometa Halley, indicando el perihelio y el afelio. Calcule el semieje mayor de la elipse y el periodo orbital del cometa. Razone si Edmond Halley pudo observar más de una vez el cometa que lleva su nombre. (1,25 puntos)}$

Por la primera ley de Kepler, el cometa describe una elipse con el Sol en uno de sus focos. El punto más próximo al Sol es el perihelio y el más alejado, el afelio; los dos están sobre el eje mayor, uno a cada lado del Sol.



Como el Sol está en el foco, la suma de las dos distancias apsidales es el eje mayor completo.

$2a=r_P+r_A \Rightarrow a=\dfrac{0{,}575+35{,}3}{2}=17{,}9\ \text{ua}$

$a=17{,}9375\cdot1{,}50\cdot10^{11}=2{,}69\cdot10^{12}\ \text{m}$

La tercera ley de Kepler para una órbita elíptica es la misma que para la circular sin más que cambiar el radio por el semieje mayor:

$T=2\pi\sqrt{\dfrac{a^3}{GM_S}}=2\pi\sqrt{\dfrac{\left(2{,}69\cdot10^{12}\right)^3}{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot1{,}99\cdot10^{30}}}$

$T=2{,}41\cdot10^{9}\ \text{s}$

$T=\dfrac{2{,}41\cdot10^{9}}{3{,}156\cdot10^{7}}=76{,}3\ \text{años}$

Halley vivió entre 1656 y 1742 y vio el cometa en 1682. El paso anterior habría sido hacia 1606, cincuenta años antes de nacer, y el siguiente hacia 1758, dieciséis años después de morir.

El semieje mayor de la órbita es de $17{,}9$ ua, o $2{,}69\cdot10^{12}$ m, y el periodo orbital, de unos $76$ años. Con ese periodo Edmond Halley solo pudo observar el cometa una vez en toda su vida: predijo su regreso, pero no llegó a verlo.

$\textbf{b) Razone en qué punto de la órbita el cometa alcanza la velocidad máxima. A partir de los datos que se facilitan, calcule la velocidad del cometa Halley cuando pasa por el perihelio de la órbita, indicando claramente los principios físicos que ha empleado. (1,25 puntos)}$

La fuerza gravitatoria que el Sol ejerce sobre el cometa es central, es decir, siempre lleva la dirección de la recta que los une. Su momento respecto del Sol es nulo y, por tanto, el momento angular del cometa se conserva.

$\vec L=\vec r\times m\vec v=\text{constante}$

En el perihelio y en el afelio la velocidad es perpendicular al radio vector, de modo que el módulo del momento angular se reduce a un producto:

$m\,r_P\,v_P=m\,r_A\,v_A \Rightarrow v_P=v_A\dfrac{r_A}{r_P}$

Como $r_P<r_A$, la velocidad en el perihelio es la mayor de las dos; de hecho, ese producto constante obliga a que el cometa vaya tanto más deprisa cuanto más cerca está del Sol, que es la segunda ley de Kepler. La velocidad máxima se alcanza, pues, en el perihelio.

$v_P=896\cdot\dfrac{35{,}3}{0{,}575}=5{,}50\cdot10^{4}\ \text{m s}^{-1}$

(las unidades astronómicas se cancelan en el cociente y no hace falta pasarlas a metros).

El cometa va más rápido en el perihelio, y allí su velocidad es de $5{,}50\cdot10^{4}$ m/s, unas sesenta veces mayor que en el afelio. Los principios empleados son la conservación del momento angular en un campo de fuerzas centrales y, con ella, la segunda ley de Kepler.