Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2026

$\textbf{Opción A}$

A finales del año 2025, la Generalitat de Cataluña lanzó al espacio un nanosatélite que describe una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura aproximada de 500 km por encima de la superficie terrestre.

a) A partir de la ley de la gravitación universal, deduzca la expresión del periodo orbital en función del radio orbital y de la masa de la Tierra, y calcule el periodo orbital del nanosatélite. [1,25 puntos]

b) Sabiendo que la masa del nanosatélite es de 11,1 kg, calcule el incremento de energía potencial gravitatoria del satélite al pasar de la superficie terrestre a la órbita. Calcule también la energía mecánica del satélite en la órbita. ¿Se trata de una órbita cerrada? Justifique la respuesta. [1,25 puntos]

Datos: $G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N m}^2\text{ kg}^{-2}$; masa de la Tierra, $M_T = 5{,}98\cdot10^{24}\ \text{kg}$; radio de la Tierra, $R_T = 6\,370\ \text{km}$.

$\textbf{Opción A. a) A partir de la ley de la gravitación universal, deduzca la expresión del periodo orbital en función del radio orbital y de la masa de la Tierra, y calcule el periodo orbital del nanosatélite. (1,25 puntos)}$

La única fuerza que actúa sobre el nanosatélite es la atracción gravitatoria de la Tierra, y en una órbita circular esa fuerza es precisamente la fuerza centrípeta del movimiento.

$G\dfrac{M_T\,m}{r^2}=m\dfrac{v^2}{r} \Rightarrow v^2=\dfrac{GM_T}{r}$

En un movimiento circular uniforme la velocidad es la longitud de la circunferencia dividida por el periodo, $v=\dfrac{2\pi r}{T}$. Sustituyendo:

$\dfrac{4\pi^2r^2}{T^2}=\dfrac{GM_T}{r} \Rightarrow T^2=\dfrac{4\pi^2r^3}{GM_T}$

$T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM_T}}$

que es la tercera ley de Kepler escrita para una órbita circular. El radio orbital es el radio terrestre más la altura:

$r=R_T+h=6{,}37\cdot10^{6}+5{,}00\cdot10^{5}=6{,}87\cdot10^{6}\ \text{m}$

$T=2\pi\sqrt{\dfrac{\left(6{,}87\cdot10^{6}\right)^3}{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}}}$

$T=5{,}67\cdot10^{3}\ \text{s}$

El periodo orbital del nanosatélite es de $5{,}67\cdot10^{3}$ segundos, es decir, unos $94{,}4$ minutos: da algo más de quince vueltas a la Tierra cada día.

$\textbf{b) Sabiendo que la masa del nanosatélite es de 11,1 kg, calcule el incremento de energía potencial gravitatoria del satélite al pasar de la superficie terrestre a la órbita. Calcule también la energía mecánica del satélite en la órbita. ¿Se trata de una órbita cerrada? Justifique la respuesta. (1,25 puntos)}$

La energía potencial gravitatoria, tomando el origen en el infinito, es

$E_p=-G\dfrac{M_T\,m}{r}$

de modo que el incremento entre la superficie y la órbita vale

$\Delta E_p=-G\dfrac{M_T\,m}{r}-\left(-G\dfrac{M_T\,m}{R_T}\right)=GM_T\,m\left(\dfrac{1}{R_T}-\dfrac{1}{r}\right)$

$\Delta E_p=6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}\cdot11{,}1\left(\dfrac{1}{6{,}37\cdot10^{6}}-\dfrac{1}{6{,}87\cdot10^{6}}\right)$

$\Delta E_p=5{,}06\cdot10^{7}\ \text{J}$

positivo, como debía ser: subir el satélite cuesta energía. Para la energía mecánica en la órbita usamos la relación $v^2=\dfrac{GM_T}{r}$ del apartado anterior.

$E_m=E_c+E_p=\dfrac{1}{2}m v^2-G\dfrac{M_T\,m}{r}=\dfrac{GM_T\,m}{2r}-\dfrac{GM_T\,m}{r}$

$E_m=-G\dfrac{M_T\,m}{2r}=-\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}\cdot11{,}1}{2\cdot6{,}87\cdot10^{6}}$

$E_m=-3{,}22\cdot10^{8}\ \text{J}$

El incremento de energía potencial es de $5{,}06\cdot10^{7}$ J y la energía mecánica en la órbita, de $-3{,}22\cdot10^{8}$ J. Como esa energía es negativa, el satélite está ligado a la Tierra y no puede escapar al infinito: se trata, en efecto, de una órbita cerrada.