Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2021

EJERCICIO 4. Análisis.
Un fabricante de automóviles hace un estudio sobre los beneficios, en miles de euros, a lo largo de los diez últimos años, y comprueba que éstos se ajustan a la función
$B(t) = t^3 - 18t^2 + 81t - 3 \ \text{ si } \ 0 \le t \le 10, \ (t \text{ en años})$

a) ¿Qué beneficios obtuvo la empresa el último año del estudio?
b) Determine los periodos de crecimiento y decrecimiento de los beneficios
c) ¿En qué años se producen los beneficios máximos y mínimos y a cuánto ascienden?
d) Calcule $\displaystyle\int_{1}^{2} B(t)\,dt$.

$\textbf{a) ¿Qué beneficios obtuvo la empresa el último año del estudio?}$

El último año del estudio corresponde a $t = 10$.

$B(10) = 10^3 - 18\cdot 10^2 + 81\cdot 10 - 3 = 1000 - 1800 + 810 - 3 = 7$

El último año la empresa obtuvo unos beneficios de 7 miles de euros, es decir, 7000 euros.

$\textbf{b) Determine los periodos de crecimiento y decrecimiento de los beneficios}$

Derivamos y buscamos los puntos críticos.

$B'(t) = 3t^2 - 36t + 81 = 3(t^2 - 12t + 27) = 3(t-3)(t-9)$

$B'(t) = 0 \Rightarrow t = 3 \text{ y } t = 9$

Estudiamos el signo de la derivada en cada tramo de $[0,10]$.

$\begin{cases} B'(0) = 3(-3)(-9) = 81 > 0 \\ B'(6) = 3(3)(-3) = -27 < 0 \\ B'(10) = 3(7)(1) = 21 > 0 \end{cases}$



Los beneficios crecen durante los tres primeros años y durante el último, y decrecen entre el tercero y el noveno.

$\textbf{c) ¿En qué años se producen los beneficios máximos y mínimos y a cuánto ascienden?}$

Los extremos absolutos se buscan entre los puntos críticos y los extremos del intervalo.

$B(0) = -3$

$B(3) = 27 - 162 + 243 - 3 = 105$

$B(9) = 729 - 1458 + 729 - 3 = -3$

$B(10) = 7$

Los beneficios máximos se producen en el tercer año y ascienden a 105 miles de euros, es decir, 105.000 euros. Los mínimos valen $-3$ miles de euros, o sea, unas pérdidas de 3000 euros, y se dan en dos momentos: al principio del estudio y en el noveno año.

$\textbf{d) Calcule } \boldsymbol{\int_{1}^{2} B(t)\,dt}\textbf{.}$

Aplicamos la regla de Barrow tras obtener una primitiva.

$\int_1^2 (t^3 - 18t^2 + 81t - 3)\,dt = \left[\dfrac{t^4}{4} - 6t^3 + \dfrac{81t^2}{2} - 3t\right]_1^2$

$= (4 - 48 + 162 - 6) - \left(\dfrac{1}{4} - 6 + \dfrac{81}{2} - 3\right) = 112 - \dfrac{127}{4} = \dfrac{321}{4}$

El valor de la integral es $\frac{321}{4} = 80{,}25$.