Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

$\textbf{Opción A}$

Una empresa fabrica coches eléctricos y coches de motor de combustión. La empresa tiene tres líneas de fabricación: $L1$, $L2$ y $L3$. La tabla siguiente muestra el número de vehículos de cada tipo que hay en este momento en cada línea. Por otra parte, sabemos que el precio de venta de los vehículos eléctricos es de 40.000 € y el precio de venta de los vehículos de motor de combustión es de 30.000 €.

$$	$\textit{Coches eléctricos}$	$\textit{Coches de motor de combustión}$ $L1$	20	80 $L2$	30	100 $L3$	40	110

El coste medio de mantenimiento y consumo por cada 100 km es de 1 € para los vehículos eléctricos y de 6 € para los de motor de combustión.

El 2 % de la producción de vehículos de motor de combustión sale de la empresa con algún defecto, mientras que solo el 1 % de los vehículos eléctricos sale con alguna tara.

a) Obtenga, mediante un producto de matrices, la matriz que expresa los ingresos por cada línea una vez se hayan vendido todos los coches. Si escogemos al azar uno de los vehículos que hay ahora en la fábrica, ¿cuál es la probabilidad de que sea de motor de combustión si sabemos que ha salido defectuoso? [1,5 puntos]
b) Es más caro comprar un coche eléctrico, pero tiene menos gastos por kilómetros recorridos que uno de combustión. Determine la función que representa el gasto acumulado, entre la compra y los kilómetros recorridos, para cada tipo de vehículo en función del número de kilómetros recorridos, $x$. Si un conductor hace 20.000 km al año, ¿a partir de cuántos años le saldrá más a cuenta el coche eléctrico que el de combustión? [1 punto]

$\textbf{Opción A. a) Obtenga, mediante un producto de matrices, la matriz que expresa los ingresos por cada línea una vez se hayan vendido todos los coches. Si escogemos al azar uno de los vehículos que hay ahora en la fábrica, ¿cuál es la probabilidad de que sea de motor de combustión si sabemos que ha salido defectuoso? (1,5 puntos)}$

Ponemos en las filas las tres líneas de fabricación y en las columnas los dos tipos de vehículo, y multiplicamos por el vector columna de los precios de venta.

$\begin{pmatrix} 20 & 80 \\ 30 & 100 \\ 40 & 110 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 40\,000 \\ 30\,000 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\,200\,000 \\ 4\,200\,000 \\ 4\,900\,000 \end{pmatrix}$

Cada componente es el ingreso de una línea; por ejemplo, el de $L1$ sale de $20\cdot40\,000+80\cdot30\,000=800\,000+2\,400\,000$.

Para la probabilidad, llamamos $E$ al suceso «el vehículo es eléctrico», $K$ a «es de motor de combustión» y $F$ a «sale defectuoso». En la fábrica hay $20+30+40=90$ eléctricos y $80+100+110=290$ de combustión, $380$ en total.

$P(E)=\dfrac{90}{380} \qquad P(K)=\dfrac{290}{380} \qquad P(F\mid E)=0{,}01 \qquad P(F\mid K)=0{,}02$

$P(F)=\dfrac{90}{380}\cdot0{,}01+\dfrac{290}{380}\cdot0{,}02=\dfrac{0{,}9+5{,}8}{380}=\dfrac{6{,}7}{380}$

$P(K\mid F)=\dfrac{P(K)P(F\mid K)}{P(F)}=\dfrac{5{,}8}{6{,}7}=\dfrac{58}{67}\approx0{,}8657$

Los ingresos son de 3 200 000 € en $L1$, 4 200 000 € en $L2$ y 4 900 000 € en $L3$; y si un vehículo ha salido defectuoso, la probabilidad de que sea de motor de combustión es $\dfrac{58}{67}$, casi el $87\%$.

$\textbf{b) Determine la función que representa el gasto acumulado, entre la compra y los kilómetros recorridos, para cada tipo de vehículo en función del número de kilómetros recorridos, }\boldsymbol{x}\textbf{. Si un conductor hace 20.000 km al año, ¿a partir de cuántos años le saldrá más a cuenta el coche eléctrico que el de combustión? (1 punto)}$

El gasto acumulado es el precio de compra más el coste por kilómetro. Los costes se dan por cada $100$ km, de manera que por kilómetro son $0{,}01$ euros el eléctrico y $0{,}06$ euros el de combustión.

$G_E(x)=40\,000+\dfrac{x}{100} \qquad G_K(x)=30\,000+\dfrac{6x}{100}$

Igualamos las dos funciones para ver a partir de qué kilometraje se cruzan.

$40\,000+0{,}01x=30\,000+0{,}06x \Rightarrow 10\,000=0{,}05x$

$x=\dfrac{10\,000}{0{,}05}=200\,000\ \text{km}$



Como la recta del eléctrico tiene menos pendiente, a partir de ese punto queda por debajo. Con $20\,000$ km al año:

$\dfrac{200\,000}{20\,000}=10\ \text{años}$

El gasto acumulado es $G_E(x)=40\,000+0{,}01x$ euros para el eléctrico y $G_K(x)=30\,000+0{,}06x$ para el de combustión; los dos se igualan a los $200\,000$ km, así que a un conductor que haga $20\,000$ km al año el coche eléctrico le sale más a cuenta a partir de los diez años.