Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

En un parque natural, los visitantes pueden acceder en coche, en bicicleta o a pie. Una vez dentro del parque, los visitantes pueden hacer una ruta guiada o bien visitarlo por su cuenta.

a) Sabemos que el 60 % de los visitantes acceden en coche, el 15 % en bicicleta y el 25 % restante a pie. También sabemos que de los que llegan en coche el 80 % hacen la ruta guiada, mientras que de los que llegan en bicicleta la hacen el 60 % y de los que llegan a pie solo la hacen el 30 %. Si escogemos un visitante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haga la ruta guiada? Si sabemos que ha hecho la ruta guiada, ¿cuál es la probabilidad de que haya accedido al parque en coche? [1,25 puntos]
b) Queremos hacer un estudio del tiempo que pasan de media los visitantes dentro del parque. Hemos preguntado a 100 visitantes cuánto rato han estado dentro del parque y hemos obtenido una media de 231 minutos con una desviación típica de 32 minutos. Construya un intervalo de confianza del 95 % para el tiempo medio que pasan los visitantes dentro del parque. [1,25 puntos]

Fórmulas para resolver el ejercicio:
— $Z \sim \text{normal}(0, 1) \rightarrow P(-1{,}96 \le Z \le 1{,}96) = 0{,}95$ y $P(-2{,}58 \le Z \le 2{,}58) = 0{,}99$
— Intervalos de confianza con un nivel de confianza $\gamma \in (0, 1)$:
· para la proporción (muestras grandes): $\left[\hat p - z_{\gamma}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p + z_{\gamma}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right]$
· para la media (muestras normales con la varianza $\sigma^2$ conocida): $\left[\bar x - z_{\gamma}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar x + z_{\gamma}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]$
· para la media (muestras grandes con la varianza $\sigma^2$ desconocida): $\left[\bar x - z_{\gamma}\dfrac{s}{\sqrt{n}},\ \bar x + z_{\gamma}\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right]$

$\textbf{a) Si escogemos un visitante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haga la ruta guiada? Si sabemos que ha hecho la ruta guiada, ¿cuál es la probabilidad de que haya accedido al parque en coche? (1,25 puntos)}$

Llamamos $C$, $B$ y $A$ a los sucesos «accede en coche», «en bicicleta» y «a pie», y $G$ al suceso «hace la ruta guiada».



La ruta guiada la puede hacer un visitante que haya llegado de cualquiera de las tres maneras, así que aplicamos el teorema de la probabilidad total.

$P(G)=P(C)P(G\mid C)+P(B)P(G\mid B)+P(A)P(G\mid A)$

$P(G)=0{,}60\cdot0{,}80+0{,}15\cdot0{,}60+0{,}25\cdot0{,}30$

$P(G)=0{,}48+0{,}09+0{,}075=0{,}645$

La segunda pregunta invierte el condicionamiento y se responde con el teorema de Bayes.

$P(C\mid G)=\dfrac{P(C)P(G\mid C)}{P(G)}=\dfrac{0{,}48}{0{,}645}=\dfrac{32}{43}\approx0{,}7442$

La probabilidad de que un visitante escogido al azar haga la ruta guiada es $0{,}645$, y si sabemos que la ha hecho, la probabilidad de que haya llegado en coche es $\dfrac{32}{43}$, casi un $74{,}4\%$.

$\textbf{b) Construya un intervalo de confianza del 95\% para el tiempo medio que pasan los visitantes dentro del parque. (1,25 puntos)}$

La muestra es grande y la varianza poblacional se desconoce, de modo que se aplica la tercera fórmula del enunciado con la desviación típica muestral y $z_{\gamma}=1{,}96$, que es el valor crítico del $95\%$ de confianza.

$\left[\bar x-z_{\gamma}\dfrac{s}{\sqrt n},\ \bar x+z_{\gamma}\dfrac{s}{\sqrt n}\right]$

$\dfrac{s}{\sqrt n}=\dfrac{32}{\sqrt{100}}=\dfrac{32}{10}=3{,}2$

$1{,}96\cdot3{,}2=6{,}272$

$\left[231-6{,}272,\ 231+6{,}272\right]=\left[224{,}728,\ 237{,}272\right]$

Con una confianza del $95\%$, el tiempo medio que pasan los visitantes dentro del parque está entre $224{,}73$ y $237{,}27$ minutos, es decir, entre tres horas y tres cuartos y casi cuatro horas.