Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2025

Un agricultor ha observado que si se plantan 25 perales por hectárea, el rendimiento es de 370 peras por árbol. Además, también ha comprobado que la relación entre el número de peras por árbol y el número de perales por hectárea es lineal, de manera que por cada árbol plantado de más por hectárea, el rendimiento disminuye en 10 peras por peral.

a) Llamamos $x$ al número de perales de más que plantamos, adicionales a los 25 iniciales. Calcule la función de la producción total de peras por hectárea $P(x)$ en función de $x$. [1 punto]
b) ¿Cuál es el número total de perales por hectárea que hay que plantar para obtener el máximo de producción por hectárea? ¿Cuál es esta producción máxima? ¿A partir de cuántos perales por hectárea no se obtiene ninguna producción? [1,5 puntos]

$\textbf{a) Llamamos }\boldsymbol{x}\textbf{ al número de perales de más que plantamos, adicionales a los 25 iniciales. Calcule la función de la producción total de peras por hectárea }\boldsymbol{P(x)}\textbf{ en función de }\boldsymbol{x}\textbf{. (1 punto)}$

La producción total es el número de perales por hectárea multiplicado por el número de peras que da cada uno. Con $x$ perales de más, el número de árboles y el rendimiento por árbol son

$\text{perales}=25+x \qquad \text{peras por peral}=370-10x$

porque la relación es lineal y cada árbol añadido resta diez peras al rendimiento de todos.

$P(x)=(25+x)(370-10x)$

$P(x)=9250-250x+370x-10x^2=-10x^2+120x+9250$

La función de la producción total por hectárea es $P(x)=-10x^2+120x+9250$, una parábola con las ramas hacia abajo.

$\textbf{b) ¿Cuál es el número total de perales por hectárea que hay que plantar para obtener el máximo de producción por hectárea? ¿Cuál es esta producción máxima? ¿A partir de cuántos perales por hectárea no se obtiene ninguna producción? (1,5 puntos)}$

Como el coeficiente principal es negativo, el vértice de la parábola es el máximo. Lo localizamos derivando e igualando a cero.

$P'(x)=-20x+120$

$P'(x)=0 \Rightarrow x=6$

$P''(x)=-20<0$

lo que confirma que es un máximo.

$25+6=31 \qquad P(6)=31\cdot(370-60)=31\cdot310=9610$

La producción se anula cuando lo hace alguno de los dos factores:

$(25+x)(370-10x)=0 \Rightarrow x=-25 \ \text{ o } \ x=37$

Se descarta $x=-25$, que dejaría el campo sin ningún peral, y queda $x=37$, es decir, $25+37=62$ perales por hectárea: con esa densidad el rendimiento por árbol ya ha bajado a cero.



Hay que plantar $31$ perales por hectárea para obtener la producción máxima, que es de $9\,610$ peras por hectárea. A partir de $62$ perales por hectárea no se obtiene ninguna producción.