Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

$\textbf{Opción B}$

En el Congreso Catalán de Educación Matemática (C2EM), que se celebrará en Lérida el próximo mes de julio, asistirán docentes de universidad, de educación secundaria y de educación infantil y primaria.

Hoy por hoy, un 10 % de los docentes inscritos son de universidad, un 50 % son de secundaria y el resto son de infantil y primaria. Por otra parte, un 40 % de los docentes inscritos de universidad, un 52 % de los docentes inscritos de secundaria y un 65 % de los docentes inscritos de infantil y primaria son mujeres.

a) La organización del Congreso quiere dar un detalle diferente a cada grupo de docentes: el detalle de tipo $D1$ para el grupo de docentes universitarios, el detalle de tipo $D2$ para el grupo de docentes de secundaria y el detalle de tipo $D3$ para el grupo de docentes de infantil y primaria. Han pedido presupuesto a tres empresas diferentes, que llamaremos $E1$, $E2$ y $E3$. La matriz siguiente nos da los precios unitarios, en euros, de cada detalle de tipo $D1$, $D2$ y $D3$ (filas) según las empresas $E1$, $E2$ y $E3$ (columnas): $\begin{pmatrix} 1{,}25 & 1 & 1{,}25 \\ 0{,}75 & 1 & 1{,}15 \\ 1 & 0{,}85 & 0{,}80 \end{pmatrix}$. El pedido de la organización se puede representar como un vector fila $(x, y, z)$, donde $x$ representa la cantidad de detalles de tipo $D1$, $y$ es la cantidad de detalles de tipo $D2$ y $z$ corresponde a la cantidad de detalles de tipo $D3$ que hay que comprar. La organización trabaja con la previsión de que al Congreso asistirán 1.000 personas en total y que los porcentajes de cada grupo de docentes respecto al total serán los mismos que los que hay en este momento de la inscripción. Calcule, mediante un producto de matrices, qué empresa ofrece el mejor precio y cuál es este precio. [1,25 puntos]
b) Un hotel situado cerca del espacio donde se celebrará el Congreso ha hecho un estudio de mercado. Inicialmente se planteaban ofrecer la habitación doble a un precio de 80 € la noche y con este precio estimaban que tendrían 100 reservas de habitaciones dobles. Pero el estudio muestra que la relación entre el precio de la habitación doble y el número de reservas es lineal, de manera que por cada euro de descuento sobre el precio de la habitación consiguen dos reservas más. Si llamamos $x$ al número de veces que se aplica el descuento de un euro, escriba la función que da los ingresos del hotel en función de $x$. ¿Cuál debe ser el precio de la habitación doble para maximizar los ingresos? [1,25 puntos]

$\textbf{Opción B. a) Calcule, mediante un producto de matrices, qué empresa ofrece el mejor precio y cuál es este precio. (1,25 puntos)}$

Con la previsión de $1\,000$ asistentes y los porcentajes de la inscripción, el pedido de cada tipo de detalle es

$x=0{,}10\cdot1000=100 \qquad y=0{,}50\cdot1000=500 \qquad z=0{,}40\cdot1000=400$

Multiplicando el vector fila del pedido por la matriz de precios se obtiene, en cada posición, el importe total que cobraría cada empresa: en la columna $j$ se suman las unidades de cada detalle por su precio en esa empresa.

$\begin{pmatrix} 100 & 500 & 400 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1{,}25 & 1 & 1{,}25 \\ 0{,}75 & 1 & 1{,}15 \\ 1 & 0{,}85 & 0{,}80 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 900 & 940 & 1020 \end{pmatrix}$

Detallando la primera componente para ver de dónde sale:

$100\cdot1{,}25+500\cdot0{,}75+400\cdot1=125+375+400=900$

La empresa que ofrece el mejor precio es $E1$, con 900 € por el pedido completo, frente a los 940 € de $E2$ y los 1 020 € de $E3$.

$\textbf{b) Si llamamos }\boldsymbol{x}\textbf{ al número de veces que se aplica el descuento de un euro, escriba la función que da los ingresos del hotel en función de }\boldsymbol{x}\textbf{. ¿Cuál debe ser el precio de la habitación doble para maximizar los ingresos? (1,25 puntos)}$

Cada euro de descuento baja el precio en una unidad y sube las reservas en dos, así que con $x$ descuentos el precio es $80-x$ euros y el número de reservas, $100+2x$. Los ingresos son el producto de ambos.

$I(x)=(80-x)(100+2x)$

$I(x)=8000+160x-100x-2x^2=-2x^2+60x+8000$

Es una parábola con el coeficiente principal negativo, de modo que su vértice es un máximo. Lo localizamos derivando.

$I'(x)=-4x+60$

$I'(x)=0 \Rightarrow x=15$

$I''(x)=-4<0$

lo que confirma que se trata de un máximo. Con esos quince descuentos:

$80-15=65 \qquad 100+2\cdot15=130 \qquad I(15)=65\cdot130=8450$

La función de ingresos es $I(x)=-2x^2+60x+8000$, y el hotel maximiza sus ingresos poniendo la habitación doble a 65 € la noche: con ese precio espera 130 reservas y unos ingresos de 8 450 €.