Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

$\textbf{Opción A}$

En el Congreso Catalán de Educación Matemática (C2EM), que se celebrará en Lérida el próximo mes de julio, asistirán docentes de universidad, de educación secundaria y de educación infantil y primaria.

Hoy por hoy, un 10 % de los docentes inscritos son de universidad, un 50 % son de secundaria y el resto son de infantil y primaria. Por otra parte, un 40 % de los docentes inscritos de universidad, un 52 % de los docentes inscritos de secundaria y un 65 % de los docentes inscritos de infantil y primaria son mujeres.

a) Calcule la probabilidad de que una persona escogida al azar de entre todos los inscritos sea una mujer. Si de entre todas las mujeres inscritas escogemos una al azar, ¿qué probabilidad hay de que sea docente de secundaria? [1,25 puntos]
b) Calcule el número de docentes que se han inscrito en el Congreso de cada nivel educativo si sabemos que en total hay 476 mujeres inscritas. [1,25 puntos]

$\textbf{Opción A. a) Calcule la probabilidad de que una persona escogida al azar de entre todos los inscritos sea una mujer. Si de entre todas las mujeres inscritas escogemos una al azar, ¿qué probabilidad hay de que sea docente de secundaria? (1,25 puntos)}$

Llamamos $U$, $S$ y $P$ a los sucesos «es docente de universidad», «de secundaria» y «de infantil y primaria», y $M$ al suceso «es mujer». Los porcentajes del primer párrafo son las probabilidades de los tres niveles, y los del segundo, las condicionadas.



Una mujer inscrita puede pertenecer a cualquiera de los tres niveles, así que aplicamos el teorema de la probabilidad total sumando las tres ramas que acaban en $M$.

$P(M)=P(U)P(M\mid U)+P(S)P(M\mid S)+P(P)P(M\mid P)$

$P(M)=0{,}10\cdot0{,}40+0{,}50\cdot0{,}52+0{,}40\cdot0{,}65$

$P(M)=0{,}04+0{,}26+0{,}26=0{,}56$

La segunda pregunta invierte el condicionamiento, de modo que se resuelve con el teorema de Bayes.

$P(S\mid M)=\dfrac{P(S)P(M\mid S)}{P(M)}=\dfrac{0{,}26}{0{,}56}=\dfrac{13}{28}\approx0{,}4643$

La probabilidad de que una persona inscrita escogida al azar sea mujer es $0{,}56$, y si sabemos que es mujer, la probabilidad de que sea docente de secundaria es $\dfrac{13}{28}$, algo más del $46\%$.

$\textbf{b) Calcule el número de docentes que se han inscrito en el Congreso de cada nivel educativo si sabemos que en total hay 476 mujeres inscritas. (1,25 puntos)}$

Llamamos $N$ al número total de inscritos. Del apartado anterior sabemos que el $56\%$ de ellos son mujeres.

$0{,}56N=476 \Rightarrow N=\dfrac{476}{0{,}56}=850$

Ahora repartimos ese total con los porcentajes de cada nivel.

$0{,}10\cdot850=85 \qquad 0{,}50\cdot850=425 \qquad 0{,}40\cdot850=340$

Comprobación: $85\cdot0{,}40+425\cdot0{,}52+340\cdot0{,}65=34+221+221=476$ mujeres.

En el Congreso se han inscrito $85$ docentes de universidad, $425$ de secundaria y $340$ de infantil y primaria, $850$ en total.