Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

Hace unos años una granja de vacas frisonas dedicada a la producción de leche hizo un estudio sobre el peso de sus vacas y llegó a la conclusión de que esta variable seguía una distribución normal con una media de 580 kg y una desviación típica de 25 kg.

Fórmulas para resolver el ejercicio:
— $Z \sim \text{normal}(0, 1) \rightarrow P(-1{,}96 \le Z \le 1{,}96) = 0{,}95$ y $P(-2{,}58 \le Z \le 2{,}58) = 0{,}99$
— Intervalos de confianza con un nivel de confianza $\gamma \in (0, 1)$:
· para la proporción (muestras grandes): $\left[\hat p - z_{\gamma}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p + z_{\gamma}\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right]$
· para la media (muestras normales con la varianza $\sigma^2$ conocida): $\left[\bar x - z_{\gamma}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \bar x + z_{\gamma}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]$
· para la media (muestras grandes con la varianza $\sigma^2$ desconocida): $\left[\bar x - z_{\gamma}\dfrac{s}{\sqrt{n}},\ \bar x + z_{\gamma}\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right]$

a) Calcule, de manera razonada, la probabilidad de que si cogemos al azar una vaca frisona de esta granja, su peso esté entre 531 y 629 kg. [1 punto]
b) Creemos que un cambio en el tipo de forraje que se da a las vacas ha modificado la media del peso. Para comprobarlo, hemos obtenido el peso de una muestra de 10 vacas de la granja escogidas al azar: 569, 575, 611, 581, 583, 614, 589, 555, 566, 571. Encuentre un intervalo de confianza del 95 % para la media del peso de las vacas, suponiendo que este peso sigue una distribución normal con una desviación típica de 25 kg. A partir del resultado obtenido, ¿podemos afirmar que la media del peso de las vacas ha cambiado? Justifique la respuesta. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Calcule, de manera razonada, la probabilidad de que si cogemos al azar una vaca frisona de esta granja, su peso esté entre 531 y 629 kg. (1 punto)}$

El peso sigue una distribución normal $X\sim N(580;\,25)$, así que tipificamos los dos extremos del intervalo para pasar a la normal estándar.

$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-580}{25}$

$z_1=\dfrac{531-580}{25}=\dfrac{-49}{25}=-1{,}96$

$z_2=\dfrac{629-580}{25}=\dfrac{49}{25}=1{,}96$

$P(531\le X\le629)=P(-1{,}96\le Z\le1{,}96)$

y ese valor lo da directamente el enunciado.



La probabilidad de que una vaca escogida al azar pese entre $531$ y $629$ kilogramos es $0{,}95$: el intervalo es justo el de las dos desviaciones típicas alrededor de la media, y por eso deja fuera solo el $5\%$ de las vacas.

$\textbf{b) Encuentre un intervalo de confianza del 95\% para la media del peso de las vacas, suponiendo que este peso sigue una distribución normal con una desviación típica de 25 kg. A partir del resultado obtenido, ¿podemos afirmar que la media del peso de las vacas ha cambiado? Justifique la respuesta. (1,5 puntos)}$

La población es normal y la desviación típica es conocida, así que se usa la segunda de las fórmulas del enunciado, con $z_{\gamma}=1{,}96$ para el $95\%$ de confianza. Primero, la media muestral de los diez pesos.

$\bar x=\dfrac{569+575+611+581+583+614+589+555+566+571}{10}=\dfrac{5814}{10}=581{,}4$

$\left[\bar x-z_{\gamma}\dfrac{\sigma}{\sqrt n},\ \bar x+z_{\gamma}\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right]$

$\dfrac{\sigma}{\sqrt n}=\dfrac{25}{\sqrt{10}}\approx7{,}9057$

$1{,}96\cdot7{,}9057\approx15{,}4952$

$\left[581{,}4-15{,}4952,\ 581{,}4+15{,}4952\right]=\left[565{,}90,\ 596{,}90\right]$

El valor $580$ kg, que era la media antes del cambio de forraje, cae dentro del intervalo, de modo que los datos son compatibles con que la media no haya variado.

El intervalo de confianza del $95\%$ para la media del peso es $[565{,}90;\ 596{,}90]$ kilogramos. Como contiene el valor $580$, no podemos afirmar que el cambio de forraje haya modificado la media del peso de las vacas.